Cấp số nhân

Gọi \(q\) là công bội của CSN đã cho, ta có: \({u_1} = 1;\,\,{u_2} =  - 2 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{ - 2}}{1} =  - 2.\)

\( \Rightarrow {u_{2019}} = {u_1}.{q^{2018}} = 1.{\left( { - 2} \right)^{2018}} = {2^{2018}}.\)

Gọi \({M_n}\) là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau \(n\) năm.

Theo giả thiết, ta có \({M_{n + 1}} = {M_n} + {M_n}.r = {M_n}\left( {1 + r} \right),\forall n \ge 1.\)

Do đó dãy số \(\left( {{M_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({M_0}\) và công bội \(q = 1 + r.\)

Suy ra \({M_n} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\), trong đó \({M_0} = {15.10^7},r = 0,0058.\)

Do đó \({M_n} = {15.10^7}.{\left( {1,0058} \right)^n}.\)

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

+ Phương án A: \({M_{34}} = {15.10^7}.{\left( {1,0058} \right)^{34}} \approx 182594000\) (đồng).

+ Phương án B: \({M_{32}} = {15.10^7}.{\left( {1,0058} \right)^{32}} \approx 180494000\) (đồng).

+ Phương án C: \({M_{31}} = {15.10^7}.{\left( {1,0058} \right)^{31}} \approx 179453000\) (đồng).

Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa).

Đặt \({u_0} = {4.10^5}\) và \(r = 4\%  = 0,04.\)

Gọi \({u_n}\) là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ \(n.\)

Khi đó ta có \({u_{n + 1}} = {u_n} + {u_n}r,\, n \in \mathbb{N}.\)

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({u_0}\) và công bội \(q = 1 + r.\)

Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n}\)\( = {u_0}{\left( {1 + r} \right)^n}.\)

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:

\({u_5} = {u_1}.{q^4} ={u_0}.{q^5}= {4.10^5}.{\left( {1 + 0,04} \right)^5} \)\(= 4.{\left( {10,4} \right)^5}\) mét khối gỗ.

Vậy phương án đúng là D.

Cấp số nhân đã cho có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{4}\\q = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2048 = {2^{11}} = {u_1}{q^{n - 1}} = \dfrac{1}{4}{.2^{n - 1}} = {2^{n - 3}}\) \( \Leftrightarrow n = 14\).

Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả \(14\) số hạng.

Vậy \({S_{14}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{1 - {2^{14}}}}{{1 - 2}} = 4095,75\)

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân, \(q > 0.\)

Ta có \({u_4} + \dfrac{{1024}}{{{u_7}}} = 2{q^3} + \dfrac{{512}}{{{q^6}}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(2{q^3} + \dfrac{{512}}{{{q^6}}} = {q^3} + {q^3} + \dfrac{{512}}{{{q^6}}} \ge 3\sqrt[3]{{{q^3}.{q^3}.\dfrac{{512}}{{{q^6}}}}} = 24.\)

Suy ra \({u_4} + \dfrac{{1024}}{{{u_7}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(24\) khi \({q^3} = \dfrac{{512}}{{{q^6}}}\) \( \Leftrightarrow q = 2.\)

Ta có \({S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = {2^{11}} - 2;\) \({S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}} = {2^{21}} - 2.\)

Do đó \(S = {S_{20}} - {S_{10}} = 2095104.\)

Vậy phương án đúng là \(C.\)

Cấp số nhân đã cho có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S_n} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = \dfrac{{{4^n} - 1}}{3}\)

Cách 1: Ta có \( - \dfrac{d}{a} =  - \dfrac{{ - 8}}{1} = 8.\)

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là \(x = \sqrt[3]{8} = 2\) là nghiệm của phương trình.

Thay \(x = 2\) vào phương trình đã cho, ta được

\(4 - 2m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 2.\)

Với \(m = 2,\) ta có phương trình \({x^3} - 7{{\rm{x}}^2} + 14{\rm{x}} - 8 = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1;x = 2;x = 4\)

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên \(m = 2\) là giá trị cần tìm. Vậy, \(B\) là phương án đúng.

Ta có \( - \dfrac{d}{a} =  - \dfrac{{ - 54}}{2} = 27.\)

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là \(x = \sqrt[3]{{27}} = 3\) phải là nghiệm của phương trình đã cho.

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 2;m =  - 4.\)

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số \(m\) nên \(m = 2\) và \(m =  - 4\) là các giá trị thỏa mãn

Suy ra \(P = {2^3} + {\left( { - 4} \right)^3} =  - 56.\)

Vậy phương án đúng là \(A.\)

Từ đề bài ta thấy các điều ước của Aladin lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công bội \(q = 2.\)

Tổng số điều ước sau 10 ngày gặp thần đèn là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân \({S_{10}} = \dfrac{{3\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 3069\) điều ước.

Do \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\),

suy ra \({q^2} = \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{18}}{2} = 9 \Rightarrow q =  \pm 3\).

Cấp số nhân $2x - 1;{\rm{ }}x;{\rm{ }}2x + 1$$ \Rightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2}$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Cấp số nhân $1 + x;9 + x;33 + x$$ \Rightarrow \left( {1 + x} \right)\left( {33 + x} \right) = {\left( {9 + x} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow x = 3$

Cấp số nhân: \(5;x;y;320\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\q = \dfrac{x}{5}\\y = {u_3} = {u_1}{q^2} = \dfrac{{{x^2}}}{5}\\320 = {u_4} = {u_1}{q^3} = \dfrac{{{x^3}}}{{25}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 80\end{array} \right.\)

Ta có: \({u_2} = {u_1}.q \Rightarrow 12 = 3.q \Rightarrow q = 4\)

\({u_2} = {u_1}q = 5.6 = 30\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\q = 3\end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = {u_1}q = 4.3 = 12.\)

Công bội của cấp số nhân đã cho bằng: \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{9}{{ - 3}} =  - 3\).

Ta có: \({u_5} = {u_1}{q^4} = \dfrac{1}{2}{.3^4} = \dfrac{{81}}{2}\).

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4\).

Ta có: \({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)