Cấp số nhân

Ta có: ${u_1} =  - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4$

Do đó ${u_5} = {u_1}.{q^4} =  - 2.{\left( { - 4} \right)^4} =  - 512$.

Và ${S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} =  - 410$

Ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} =  - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} =  - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}}$ $\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104$

Ta có: $u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12$ 

Ta có ${u_n} = {5^n}$ nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi $\forall n \ge 1$ .

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có  ${u_n} = {5^n}$là cấp số nhân.

Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.

Ta có ${u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}$ nên ${u_{n + 1}} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 2}} = ( - \sqrt 3 ){u_n} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = ( - \sqrt 3 )$không đổi $\forall n \ge 1$ .

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có ${u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}$  là cấp số nhân.

Ta có ${u_n} = 5n + 1$ nên ${u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 \Rightarrow \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$không là cấp số nhân.

Ta có ${u_2} = 4 = {u_1}.q$ và ${u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}$

 $\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2}$ $\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{   }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}$

Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử $A < B < C < D$.

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

$\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}$

Từ giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right) + \left( {3x - 3y} \right) = 2(x + y)\\{\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\{\left( {y + 2} \right)^2} = \left( {3y - 2} \right)\left( {9y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\13{y^2} - 11y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - \dfrac{2}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy  $x = 3;y = 1$ hoặc $x =  - \dfrac{6}{{13}};y =  - \dfrac{2}{{13}}$

Vì cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có công sai khác $0$ nên các số ${u_1};{u_2};{u_3};{u_4}$ đôi một khác nhau.

Suy ra ${u_1}{u_2} \ne 0$ và $q \ne 1$.

Ta có

${u_2}{u_3} = {u_1}{u_2}.q;{u_1}{u_3} = {u_1}{u_2}.{q^2}$ $\Leftrightarrow {u_3} = {u_1}.q = {u_2}.{q^2}$ $\Rightarrow {u_3} = {u_2}.{q^2};{u_1} = {u_2}.q$

Vì ${u_1};{u_2};{u_3}$ là cấp số cộng nên ${u_1} + {u_3} = 2{u_2}$

Thay ${u_3} = {u_2}.{q^2};{u_1} = {u_2}.q$ vào ta được:

${u_1} + {u_3} = 2{u_2} \Rightarrow {u_2}.q + {u_2}.{q^2} = 2{u_2}$ $\Rightarrow {q^2} + q - 2 = 0 \Rightarrow q =  - 2$

Với cấp số nhân $a,b,c > 0 \Rightarrow {b^2} = ac = 36 \Rightarrow b = 6 > 0$

Do đó, theo giả thiết cấp số cộng ta có

${u_1} = 6;d = 4;{S_n} = 510$

$\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{n}{2}\left( {2{u_1} + (n - 1)d} \right) \Leftrightarrow 510 = \dfrac{n}{2}\left( {12 + 4(n - 1)} \right)\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2n - 255 = 0\\ \Rightarrow n = 15\end{array}$

(do n nguyên dương)

Theo giả thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng $2\%$ nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước $1 + 2\%  = 1,02$ lần nên số dân theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = {3.10^6}$ và công bội $q = 1 + 0,02$

$\Rightarrow {u_n} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^n} \Rightarrow {u_3} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^3} = 3183624$

Gọi ${u_n}$ là khối lượng còn lại của $20$ gam poloni sau $n$ chu kì bán rã.

Ta có $7314$ ngày gồm $\dfrac{{7314}}{{138}} = 53$ chu kì bán rã.

Do đó ta cần tính ${u_{53}}$

Theo giả thiết của bài toán thì $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = \dfrac{{20}}{2} = 10;q = \dfrac{1}{2}$

Do đó ${u_{53}} = 10{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}}$ 

Ta có

 $\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^3} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9} = \dfrac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{10}}} \right) - \dfrac{{10}}{9}\\ = \dfrac{1}{9}\left( {10.\dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9}} \right) - \dfrac{{10}}{9} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 10 - 90}}{{81}} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}$ 

Nếu $a = 0$ thì $S = 1$.

Nếu $a \ne 1$ thì ta có:

$\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{        }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 3\\q =  - 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} =  - 3.\dfrac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023$

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2},{x_3}$ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có ${x_1}{x_2}{x_3} = 8.$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có ${x_1}{x_3} = x_2^2$. Suy ra ta có $x_2^3 = 8 \Leftrightarrow {x_2} = 2.$

+ Điều kiện đủ: Với $m = 1$ và $m = 7$ thì ${m^2} + 6m = 7$ nên ta có phương trình

                                          ${x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0.$

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là $1,2,4.$ Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị $q = 2.$

Vậy, $m = 1$ và $m =  - 7$ là các giá trị cần tìm. Do đó phương án $D.$

Cấp số nhân $2;{\rm{ }}\,8;{\rm{ }}\,x;{\rm{ }}\,128$ theo thứ tự đó sẽ là ${u_1};\,\,{u_2};\,\,{u_3};\,\,{u_4}$, ta có

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\\\dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_4}}}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{2} = \dfrac{x}{8}\\\dfrac{{128}}{x} = \dfrac{x}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\{x^2} = 1024\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 32\\\left[ \begin{array}{l}x = 32\\x =  - 32\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 32$  Chọn B

Ta có ${M_1}$ là trung điểm của A B nên ${M_1}B = \dfrac{{{2^{100}}}}{2} = {2^{99}}$.

Vì ${M_2}$ là trung điểm của ${M_1}B$ nên ${M_2}B = {2^{98}}$.

Tương tự ta có: ${M_3}B = {2^{97}},{M_4}B = {2^{96}}, \ldots ,{M_{99}}B = {2^1} = 2$.

Vì ${M_{100}}$ là trung điểm của ${M_{99}}B$ nên ${M_{100}}B = 1$.

Khi đó, ${M_1}{M_{100}} = {M_1}B - {M_{100}}B = {2^{99}} - 1$.

Bước 1: Tìm ${u_1};q$

Xét cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 5,q = 2$.

Bước 2: Tìm n

Ta có: ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} \Leftrightarrow 1280 = 5 \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^8} \Leftrightarrow n = 9$.

Vậy cấp số nhân đã cho có 9 số hạng.

Bước 1: Biểu diễn P, A, B theo ${u_1},q,n$

Ta có

$P = {u_1} \cdot \left( {{u_1} \cdot q} \right) \ldots ..\left( {{u_1} \cdot {q^{n - 1}}} \right)$$= u_1^n \cdot {q^{1 + 2 + 3 +  \ldots  + (n - 1)}} = u_1^n \cdot {q^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}}}$$= {\left( {{u_1} \cdot {q^{\dfrac{{n - 1}}{2}}}} \right)^n}.$

Theo giả thiết, ta có:

$A = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_n} = {u_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}$

$B = \dfrac{1}{{{u_1}}} + \dfrac{1}{{{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{u_n}}}$$= \dfrac{1}{{{u_1}}} \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{{{q^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}} \right)$

$= \dfrac{1}{{{u_1}}} \cdot \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{q^n}}}}}{{1 - \dfrac{1}{q}}} = \dfrac{1}{{{u_1}}} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}.$

Bước 2: Tính P.

Suy ra $\dfrac{A}{B} = u_1^2 \cdot {q^{n - 1}} = {\left( {{u_1} \cdot {q^{\dfrac{{n - 1}}{2}}}} \right)^2}$.

$\Rightarrow {u_1} \cdot {q^{\dfrac{n - 1}{2}}}=\sqrt {\left( {\dfrac{A}{B}}\right)}$

Vậy $P = \sqrt {{{\left( {\dfrac{A}{B}} \right)}^n}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2020}}{{2021}}} \right)}^n}}$.

Ta có 

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} - {u_4} = 24}\\{{u_7} - {u_5} = 144}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^4} - {u_1}{q^3} = 24}\\{{u_1}{q^6} - {u_1}{q^4} = 144}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3}(q - 1) = 24}\\{{u_1}{q^4}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144}\end{array}} \right.$

Vi $q \ne 1$ nên lấy (2) chia (1) ta được

$\dfrac{{{u_1}{q^4}\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{u_1}{q^3}(q - 1)}} = \dfrac{{144}}{{24}} \Leftrightarrow q(q + 1) = 6 \Leftrightarrow {q^2} + q - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 2}\\{q =  - 3}\end{array}.} \right.$

Vì $q$ dương nên $q = 2 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{24}}{{{q^3}(q - 1)}} = 3$.

Khi đó tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là ${S_{10}} = {u_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 3069$.