Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với các số hạng đều dương thỏa mãn  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_n} = 2020}\\{\dfrac{1}{{{u_1}}} + \dfrac{1}{{{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{u_n}}} = 2021}\end{array}} \right.\). Giá trị của \(P = {u_1} \cdot {u_2} \cdot {u_3} \ldots ..{u_n}\) là

Bước 1: Biểu diễn P, A, B theo \({u_1},q,n\)

Ta có

\(P = {u_1} \cdot \left( {{u_1} \cdot q} \right) \ldots ..\left( {{u_1} \cdot {q^{n - 1}}} \right)\)\( = u_1^n \cdot {q^{1 + 2 + 3 +  \ldots  + (n - 1)}} = u_1^n \cdot {q^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}}}\)\( = {\left( {{u_1} \cdot {q^{\dfrac{{n - 1}}{2}}}} \right)^n}.\)

Theo giả thiết, ta có:

\(A = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_n} = {u_1} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}\)

\(B = \dfrac{1}{{{u_1}}} + \dfrac{1}{{{u_2}}} + \dfrac{1}{{{u_3}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{u_n}}}\)\( = \dfrac{1}{{{u_1}}} \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{{{q^2}}} +  \ldots  + \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{{u_1}}} \cdot \dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{q^n}}}}}{{1 - \dfrac{1}{q}}} = \dfrac{1}{{{u_1}}} \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}.\)

Bước 2: Tính P.

Suy ra \(\dfrac{A}{B} = u_1^2 \cdot {q^{n - 1}} = {\left( {{u_1} \cdot {q^{\dfrac{{n - 1}}{2}}}} \right)^2}\).

$\Rightarrow {u_1} \cdot {q^{\dfrac{n - 1}{2}}}=\sqrt {\left( {\dfrac{A}{B}}\right)}$

Vậy \(P = \sqrt {{{\left( {\dfrac{A}{B}} \right)}^n}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2020}}{{2021}}} \right)}^n}} \).