Câu hỏi:
2 năm trước
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu là \({u_1}\) và công bội là \(q\) là số dương thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} - {u_4} = 24}\\{{u_7} - {u_5} = 144}\end{array}} \right.\). Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng:
3069
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_5} - {u_4} = 24}\\{{u_7} - {u_5} = 144}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^4} - {u_1}{q^3} = 24}\\{{u_1}{q^6} - {u_1}{q^4} = 144}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3}(q - 1) = 24}\\{{u_1}{q^4}\left( {{q^2} - 1} \right) = 144}\end{array}} \right.\)
Vi \(q \ne 1\) nên lấy (2) chia (1) ta được
\(\dfrac{{{u_1}{q^4}\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{u_1}{q^3}(q - 1)}} = \dfrac{{144}}{{24}} \Leftrightarrow q(q + 1) = 6 \Leftrightarrow {q^2} + q - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 2}\\{q = - 3}\end{array}.} \right.\)
Vì \(q\) dương nên \(q = 2 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{{24}}{{{q^3}(q - 1)}} = 3\).
Khi đó tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \({S_{10}} = {u_1} \cdot \dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 3069\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Sử dụng công thức tổng quát đưa về hệ 2 ẩn q và \({u_1}\)
Bước 2: Chia vế với về từng phương trình trong hệ và tìm phương trình ẩn q. Tìm q.
