Câu hỏi:
2 năm trước
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2,\) công bội dương và biểu thức \({u_4} + \dfrac{{1024}}{{{u_7}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{20}}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân, \(q > 0.\)
Ta có \({u_4} + \dfrac{{1024}}{{{u_7}}} = 2{q^3} + \dfrac{{512}}{{{q^6}}}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\(2{q^3} + \dfrac{{512}}{{{q^6}}} = {q^3} + {q^3} + \dfrac{{512}}{{{q^6}}} \ge 3\sqrt[3]{{{q^3}.{q^3}.\dfrac{{512}}{{{q^6}}}}} = 24.\)
Suy ra \({u_4} + \dfrac{{1024}}{{{u_7}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(24\) khi \({q^3} = \dfrac{{512}}{{{q^6}}}\) \( \Leftrightarrow q = 2.\)
Ta có \({S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = {2^{11}} - 2;\) \({S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{20}}} \right)}}{{1 - q}} = {2^{21}} - 2.\)
Do đó \(S = {S_{20}} - {S_{10}} = 2095104.\)
Vậy phương án đúng là \(C.\)
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi biểu thức cần đánh giá GTNN về ẩn \(q\).
- Sử dụng bất đẳng thức Cô – si đánh giá GTNN của biểu thức trên tìm \(q\).
- Tính tổng theo công thức \({S_n} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).
