Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:3x - y + 1 = 0\). Tìm phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép quay \(Q\left( {O; - {{90}^0}} \right)\).

Bước 1:

Ta có \(\left( d \right):\,\,3x - y + 1 = 0\) có \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3; - 1} \right)\).

Bước 2:

Lấy \(M\left( {0;1} \right) \in d\); Phép quay \({Q_{\left( {O; - 90^\circ } \right)}}\left( M \right) = M'\left( {a;b} \right)\)

Bước 3:

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} \left( {0;1} \right);\,\,\overrightarrow {OM'} \left( {a;b} \right)\)

Bước 4:

Phép quay \({Q_{\left( {O; - 90^\circ } \right)}}\left( d \right) = d'\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d'}}}  = 0\\OM' = OM = 1\\\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM'}  = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{d'}}} \left( {1;3} \right)\\{a^2} + {b^2} = 1\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{d'}}} \left( {1;3} \right)\\b = 0\\a = 1(do\alpha  =  - 90^\circ )\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{d'}}} \left( {1;3} \right)\\M'\left( {1;0} \right)\end{array} \right.\)

Bước 5:

Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) là \(x + 3y - 1 = 0.\)