Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tứ diện \(ABCD.\) \(M\) là điểm trên đoạn \(AB\) và \(MB = 2MA\). \(N\) là điểm trên đường thẳng $CD$ mà \(\overrightarrow {CN} = k\overrightarrow {CD} \). Nếu \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} \) đồng phẳng thì giá trị của \(k\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Qua \(M\) vẽ mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(AD\) và \(BC\).
\(\left( \alpha \right)\)cắt \(AC\) tại \(E\), \(BD\) tại \(F\) và \(CD\) tại \(N\). Ta có \(MF{\rm{//}}EN{\rm{//}}AD\).
Các vecto \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} \) có giá song song hay nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên đồng phẳng.
Ta có: \(\dfrac{{CN}}{{CD}} = \dfrac{{BF}}{{BD}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} = \dfrac{2}{3}\)(Ta – let) nên \(\overrightarrow {CN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CD} \).
Vậy \(k = \dfrac{2}{3}\).
Hướng dẫn giải:
- Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và song song với cả hai đường thẳng \(BC\) và \(AD\) cắt \(CD\) tại \(N\).
- Chứng minh ba véc tơ \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} \) đồng phẳng.
- Tính tỉ số \(\dfrac{{CN}}{{CD}}\) và suy ra đáp số.
