Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\). Tìm phương trình đường tròn ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 3.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Bước 1:
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {8;4} \right)\) và bán kính \(R = 2\)
Bước 2:
Gọi \(I'\left( {a';b'} \right)\) là ảnh của \(I\left( {8;4} \right)\) qua \({V_{\left( {O;3} \right)}}\)
\(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua \({V_{\left( {O;3} \right)}}\), \(R'\) là bán kính của \(\left( {C'} \right)\)
Bước 3:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a' = 3.8 = 24\\b' = 3.4 = 12\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {24;12} \right)\).
Bước 4:
Phép vị tự không làm thay đổi bán kính của đường tròn nên \(R' = k.R = 3.2 = 6\)
Bước 5:
Ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k = 3\) là đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(I'\left( {24;12} \right)\) và bán kính \(R' = 6\).
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 12} \right)^2} = 36\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Xác định tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\)
Đường tròn phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R = \sqrt c \).
Bước 2: Gọi \(I'\left( {a';b'} \right)\) là ảnh của \(I\) qua \({V_{\left( {O;3} \right)}}\) và gọi \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua \({V_{\left( {O;3} \right)}}\), \(R'\) là bán kính của \(\left( {C'} \right)\)
Bước 3: Tìm \(I'\)
Sử dụng công thức tọa độ của phép vị tự \({V_{\left( {O;k} \right)}}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = k{x_A}\\{x_{B'}} = k{x_B}\end{array} \right.\)
Bước 4: Tìm bán kính \(R'\) của \(\left( {C'} \right)\).
+) Phép vị tự không làm thay đổi bán kính của đường tròn.
Bước 5: Tìm đường tròn ảnh của \(\left( C \right)\) khi biết tâm và bán kính
+) Đường tròn tâm \(I'\left( {a';b'} \right)\) bán kính \(R'\) có phương trình \({\left( {x - a'} \right)^2} + {\left( {y - b'} \right)^2} = R{'^2}\)
