Cho n là số dương thỏa mãn \(5C_n^{n - 1} = C_n^3.\) Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển nhị thức Newton \(P = {\left( {\dfrac{{n{x^2}}}{{14}} - \dfrac{1}{x}} \right)^n}\) với \(x \ne 0\) là

Điều kiện \(n \in \mathbb{N},\,\,\,n \ge 3.\)

Ta có \(5C_n^{n - 1} = C_n^3 \Leftrightarrow \dfrac{{5.n!}}{{1!.\left( {n - 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{3!.\left( {n - 3} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\left( {n - 3} \right)!\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{6.\left( {n - 3} \right)!}}\)

                                      \( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 7\left( {TM} \right)\\n =  - 4\left( L \right)\end{array} \right.\)

Với \(\)\(n = 7\) ta có \(P = {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^7}\)

Số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển là \({T_{k + 1}} = \dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{2^{7 - k}}}}.C_7^k.{x^{14 - 3k}}\)

Suy ra \(14 - 3k = 5 \Leftrightarrow k = 3\)

Vậy số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là \({T_4} =  - \dfrac{{35}}{{16}}{x^5}.\)