Nhị thức Niu-tơn

Bước 1:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\...\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\\ = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}\end{array}$

$\Rightarrow 2A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n$$+ C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}$

Bước 2:

=> $C_{2n + 1}^0 + 2A + C_{2n + 1}^{2n + 1}$$= C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$

$\Rightarrow A = \dfrac{{{2^{2n + 1}} - 2}}{2} = {2^{2n}} - 1$

Bước 3:

Theo giả thiết ta có $A = {2^{24}} - 1 \Rightarrow n = 12$

Bước 4:

Khi đó

$\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{24}} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^4}{\left( {2x - 1} \right)^{24}}\\ = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{28}}}}{{16}} = \dfrac{1}{{16}}\sum\limits_{k \to 0}^{28} {C_{28}^k} {.2^k}.{x^k}.{\left( { - 1} \right)^{28 - k}}\end{array}$

Khi đó hệ số của ${x^9}$hay $k = 9$ là $- C_{28}^9{.2^5}$

Bước 1:

Ta có : $S = C_{2018}^0 + \dfrac{1}{2}C_{2018}^1 + \dfrac{1}{3}C_{2018}^2 + ...$$+ \dfrac{1}{{2018}}C_{2018}^{2017} + \dfrac{1}{{2019}}C_{2018}^{2018}$$= \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{1}{{k + 1}}C_{2018}^k}$

Bước 2:

$\Rightarrow 2019S = \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019}}{{k + 1}}C_{2018}^k}$$= \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019}}{{k + 1}}.\dfrac{{2018!}}{{k!\left( {2018 - k} \right)!}}}$

$= \sum\limits_{k = 0}^{2018} {\dfrac{{2019!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {2019 - \left( {k + 1} \right)} \right)!}}}$$= \sum\limits_{k = 0}^{2018} {C_{2019}^{k + 1}}$

$= C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019}$

Bước 3:

$\Rightarrow 2019S + C_{2019}^0$$= C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{2019}$ $= {2^{2019}}$

Bước 4:

$\Rightarrow 2019S = {2^{2019}} - C_{2019}^0 = {2^{2019}} - 1$$\Rightarrow S = \dfrac{{{2^{2019}} - 1}}{{2019}}$

Bước 1:

Ta có ${\left( {1 + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k \to 0}^n {C_n^k{{.2}^k}}  = C_n^0 + 2C_n^1 + ... + {2^n}.C_n^n$

Mà $C_n^0 + 2C_n^1 + ... + {2^n}.C_n^n = 243$

Nên ${3^n} = 243 \Leftrightarrow n = 5$

Bước 2:

$\begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2m}} = \sum\limits_{k = 0}^{2m} {C_{2m}^k}  = C_{2m}^0 + C_{2m}^1 + ... + C_{2m}^{2m}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2m}} = \sum\limits_{k = 0}^{2m} {C_{2m}^k} .{\left( { - 1} \right)^k} = C_{2m}^0 - C_{2m}^1 + ... + C_{2m}^{2m}\\ \Rightarrow {2^{2m}} - 0 = 2.\left( {C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1}} \right)\end{array}$

$\Rightarrow C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1} = \dfrac{{{2^{2m}}}}{2}$

Mặt khác $C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1} = 2048$.

Bước 3:

$\Rightarrow {2^{2m - 1}} = 2048 = {2^{11}}$$\Leftrightarrow 2m - 1 = 11 \Leftrightarrow m = 6$

Bước 4:

Do đó $m > n$.

$\begin{array}{l}P\left( x \right) = {\left( {x - 2y} \right)^5} = \sum\limits_{k \to 0}^5 {C_5^k.{x^{5 - k}}.{{\left( { - 2} \right)}^k}.{y^k}} \\ \Leftrightarrow P\left( x \right) = {x^5} - 2C_5^1{x^4}.y + {2^2}C_5^2{x^3}.{y^2} - {2^3}C_5^3{x^2}.{y^3} + {2^4}C_5^4x.{y^4} - {2^5}C_5^5.{y^5}\end{array}$

Bước 1:

Ta có:

$S = C_{17}^0 - 3C_{17}^1 + 9C_{17}^2 - 27C_{17}^3 + .... - {3^{17}}C_{17}^{17}.$

$S = {1^{17}}.{\left( { - 3} \right)^0}C_{17}^0 + {1^{16}}.{\left( { - 3} \right)^1}.C_{17}^1$$+ {1^{15}}.{\left( { - 3} \right)^2}.C_{17}^2 + ... + {1^0}.{\left( { - 3} \right)^{17}}.C_{17}^{17}$

$S = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{{.1}^{17 - k}}.{{\left( { - 3} \right)}^k}}$

Bước 2:

Mặt khác ${\left( {1 - 3} \right)^{17}} = \sum\limits_{k = 0}^{17} {C_{17}^k{{\left( { - 3} \right)}^k}.{{\left( 1 \right)}^{17 - k}}}$

Bước 3:

Nên $S = {\left( {1 - 3} \right)^{17}} =  - {2^{17}} =  - 131072$

Ta có: ${\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^k}{{\left( { - 2{x^{ - 1}}} \right)}^{15 - k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( { - 2} \right)}^{15 - k}}{x^{3k - 15}}}$

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k thỏa mãn $3k - 15 = 0 \Leftrightarrow k = 5.$

Số hạng đó là: $C_{15}^5{\left( { - 2} \right)^{15 - 5}} = {2^{10}}C_{15}^{10}$.

Ta có: ${\left( {2 + x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{2^{15 - k}}{x^k}}$ 

Để có hệ số của số hạng có chứa ${x^5}$ trong khai triển thì $k = 5.$

$\Rightarrow$ Hệ số của số hạng có chứa ${x^5}$ trong khai triển là: ${2^{10}}C_{15}^5.$

Ta có $P\left( x \right) = {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)}^k}.{x^{2\left( {15 - k} \right)}}}$$= \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{30 - 3k}}}$

Khi đó số hạng không chứa x tức là $30 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 10.$

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: $C_{15}^{10} = 3003.$

$+ )$Xét: ${\left( {x + 3} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.3^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.3^1} + ... + C_n^n.{x^0}{.3^n}$

$+ )$Thay $x = 1$ $\Leftrightarrow {\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0 + 3C_n^1 + ... + {3^n}$

$\Leftrightarrow {4^n} = 65536$ $\Leftrightarrow {4^n} = {4^8}$$\Leftrightarrow n = 8$

$\Rightarrow$ Biều thức là ${\left( {x - 4.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^8}$

$+ )$ Số hạng tổng quát của biểu thức ${\left( {x - 4.{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^8}$là:

${T_{k + 1}} = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^k}$ $= C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{\frac{1}{2}k}}$$= C_8^k{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{8 - \frac{1}{2}k}}$

Số hạng chứa ${x^6}$ $\Rightarrow {x^{8 - \frac{1}{2}k}} = {x^6}$$\Leftrightarrow 8 - \frac{1}{2}k = 6$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k = 2$$\Leftrightarrow k = 4$

$\Rightarrow$ Hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là: $C_8^4.{\left( { - 4} \right)^4} = 17920$.

$+ )$$C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 14348907$

Xét: ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.x + ... + C_n^n.{x^n}$

Thay $x = 2$$\Rightarrow$${\left( {1 + 2} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.2 + ... + C_n^n{.2^n}$$\Leftrightarrow {3^n} = 14348907$$\Leftrightarrow n = 15$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển: ${\left( {{x^2} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$là: ${T_{k + 1}} = C_{15}^k.{\left( {{x^2}} \right)^{15 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {{x^{ - 3}}} \right)^k}$$= C_{15}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{30 - 5k}}$

Số hạng chứa ${x^{10}}$$\Rightarrow {x^{30 - 5k}} = {x^{10}}$$\Leftrightarrow k = 4$

$\Rightarrow$Hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$là: $C_{15}^4.{\left( { - 1} \right)^4} = 1365$.

$+ )$$C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 14348907$

Xét: ${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.x + ... + C_n^n.{x^n}$

Thay $x = 2$$\Rightarrow$${\left( {1 + 2} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1.2 + ... + C_n^n{.2^n}$$\Leftrightarrow {3^n} = 14348907$$\Leftrightarrow n = 15$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển: ${\left( {{x^2} - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$là: ${T_{k + 1}} = C_{15}^k.{\left( {{x^2}} \right)^{15 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {{x^{ - 3}}} \right)^k}$$= C_{15}^k.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{30 - 5k}}$

Số hạng chứa ${x^{10}}$$\Rightarrow {x^{30 - 5k}} = {x^{10}}$$\Leftrightarrow k = 4$

$\Rightarrow$Hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$là: $C_{15}^4.{\left( { - 1} \right)^4} = 1365$.

$+ )$$C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 1023$

+) Ta có hệ quả từ câu 6: $C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\\ \Leftrightarrow C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n} - 1\end{array}$

$\Leftrightarrow {2^n} - 1 = 1023$$\Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10$

$+ )$${\left[ {\left( {12 - n} \right).x + 1} \right]^n} = {\left( {2x + 1} \right)^{10}}$

$+ )$Số hạng tổng quát thứ $\left( {k + 1} \right)$ của khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {2x} \right)^k}{.1^{10 - k}}$       $= C_{10}^k{.2^k}.{x^k}{.1^{10 - k}}$

+ Số hạng chứa ${x^2}$$\Rightarrow k = 2$

$\Rightarrow$Hệ số của số hạng chứa${x^2}$ là: $C_{10}^2{.2^2}{.1^8} = 180$

${\left( {3x - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_n}{x^n}$

+ Thay $x = 1$ vào hai vế, ta có: ${\left( {3.1 - 1} \right)^n} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$

+ Mà tổng các hệ số trong khai triển bằng ${2^{11}}$nên ${\left( {3 - 1} \right)^n} = {2^{21}}$$\Leftrightarrow n = 11$

+ Số hạng tổng quát của khai triển ${\left( {3x - 1} \right)^{11}}$là: ${T_{k + 1}} = C_{11}^k.{\left( {3x} \right)^{11 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k} = C_{11}^k{.3^{11 - k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{11 - k}}$

${a_0}$ là hệ số số hạng chứa ${x^0}$

${a_1}$ là hệ số số hạng chứa ${x^1}$

…

${a_6}$ là hệ số số hạng chứa ${x^6}$

$\Rightarrow$${x^{11 - k}} = {x^6}$$\Rightarrow k = 5$

+ Hệ số số hạng chứa ${x^6}$là: $C_{11}^5{.3^6}.{\left( { - 1} \right)^5} =  - 336798$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{x^{13\, - \,k}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{13\, - \,k}}.{x^{ - \,k}}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{13\, - \,2k}}.$

Hệ số của số hạng ${x^7}$ ứng với $13-2k=7\Leftrightarrow k=3\,\,\xrightarrow{{}}$ Số hạng cần tìm là $- \,C_{13}^3\,{x^7}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {{x^2} + \dfrac{2}{x}} \right)^6}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^6 {C_6^k} .{\left( {{x^2}} \right)^{6\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^6 {C_6^k} .{x^{12 - 2k}}.\dfrac{{{2^k}}}{{{x^k}}}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^6 {C_6^k} {.2^k}.{x^{12\, - \,3k}}.$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $12-3k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_6^4{.2^4}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}}$ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $8-2k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( {{x^2}} \right)^{12\, - \,k}}.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{x^{24\, - \,2k}}.{x^{ - \,k}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{x^{24\, - \,3k}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ ứng với $\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^k = 495\\24 - 3k = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{12!}}{{\left( {12 - k} \right)!.k!}} = 495 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4 \Rightarrow m = 12\\k = 8 \Rightarrow m = 0\end{array} \right..$

Cách bấm máy tính giải phương tình ẩn k: Bấm như sau từ 1 đến 12, những số cho đáp án là 495 là nghiệm k cần tìm.

Xét khai triển

${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{\left( { - 1} \right)^0}{x^n} + C_n^1{\left( { - 1} \right)^1}{x^{n - 1}} + ... + C_n^n{\left( { - 1} \right)^n}{x^0}$

Thay x = 3 ta có: ${\left( {3 - 1} \right)^n} = {3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n = 2048 \Leftrightarrow {2^n} = 2048 \Leftrightarrow n = 11.$

$\Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{2^{11 - k}}} \,\left( {0 \le k \le n,k \in N} \right)$

Hệ số của số hạng chứa ${x^{10}} \Leftrightarrow k = 10.$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$ là: $C_{11}^{10}2 = 22.$

$\bullet$ Xét khai triển ${x^2}{\left( {1 + 2x} \right)^{10}} = {x^2}.\sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.1^{10\, - \,k}}.{\left( {2x} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} {.2^k}.{x^{2\, + \,k}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ ứng với ${{x}^{2\,+\,k}}={{x}^{8}}\Leftrightarrow k=6\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Hệ số của ${x^8}$ là ${2^6}.C_{10}^6.$

$\bullet$ Xét khai triển ${x^4}{\left( {3 + x} \right)^8} = {x^4}.\sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^i} = \sum\limits_{i\, = \,0}^8 {C_8^i} {.3^{8\, - \,i}}.{x^{i\, + \,4}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ ứng với ${{x}^{i\,+\,4}}={{x}^{8}}\Leftrightarrow i=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$ Hệ số của ${x^8}$ là $C_8^4{.3^4}.$

Vậy hệ số cần tìm là ${2^6}.C_{10}^6 - {3^4}.C_8^4 = 7770.$ 

Điều kiện: $n \ge 2.$ Ta có $3C_{n\, + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2 \Leftrightarrow 3.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.2!}} + 2n = 4.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}n\left( {n + 1} \right) + 2n = 4n\left( {n - 1} \right)$

$\Leftrightarrow 3\left( {n + 1} \right) + 4 = 8\left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow 3n + 3 + 4 = 8n - 8 \Leftrightarrow 5n = 15 \Leftrightarrow n = 3.$

Với $n = 3,$ theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( {{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .\dfrac{{{x^{3k}}}}{{{x^{10\, - \,k}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{x^{4k\, - \,10}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ ứng với $4k-10=6\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số cần tìm là $C_{10}^4 = 210.$