Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ..... + C_{2n + 1}^n = {2^{24}} - 1\). Tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{2n}}.\)

Bước 1:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\...\\C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\\ = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}\end{array}\)

\( \Rightarrow 2A = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^n\)\( + C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}\)

Bước 2:

=> \(C_{2n + 1}^0 + 2A + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)\( = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{{2^{2n + 1}} - 2}}{2} = {2^{2n}} - 1\)

Bước 3:

Theo giả thiết ta có \(A = {2^{24}} - 1 \Rightarrow n = 12\)

Bước 4:

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right)^2}{\left( {2x - 1} \right)^{24}} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^4}{\left( {2x - 1} \right)^{24}}\\ = \dfrac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^{28}}}}{{16}} = \dfrac{1}{{16}}\sum\limits_{k \to 0}^{28} {C_{28}^k} {.2^k}.{x^k}.{\left( { - 1} \right)^{28 - k}}\end{array}\)

Khi đó hệ số của \({x^9}\)hay \(k = 9\) là \( - C_{28}^9{.2^5}\)