Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 + .... + {2^n}C_n^n = 243\) và m là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + C_{2m}^5 + .... + C_{2m}^{2m - 1} = 2048\). Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng ?

Bước 1:

Ta có \({\left( {1 + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k \to 0}^n {C_n^k{{.2}^k}}  = C_n^0 + 2C_n^1 + ... + {2^n}.C_n^n\)

Mà \(C_n^0 + 2C_n^1 + ... + {2^n}.C_n^n = 243\)

Nên \({3^n} = 243 \Leftrightarrow n = 5\)

Bước 2:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2m}} = \sum\limits_{k = 0}^{2m} {C_{2m}^k}  = C_{2m}^0 + C_{2m}^1 + ... + C_{2m}^{2m}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2m}} = \sum\limits_{k = 0}^{2m} {C_{2m}^k} .{\left( { - 1} \right)^k} = C_{2m}^0 - C_{2m}^1 + ... + C_{2m}^{2m}\\ \Rightarrow {2^{2m}} - 0 = 2.\left( {C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1} = \dfrac{{{2^{2m}}}}{2}\)

Mặt khác \(C_{2m}^1 + C_{2m}^3 + ... + C_{2m}^{2m - 1} = 2048\).

Bước 3:

\( \Rightarrow {2^{2m - 1}} = 2048 = {2^{11}}\)\( \Leftrightarrow 2m - 1 = 11 \Leftrightarrow m = 6\)

Bước 4:

Do đó \(m > n\).