Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai?

Với A: Ta sẽ dùng đẳng thức$kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{S_1} = 1C_n^1 + 2C_n^2 + ... + (n - 1)C_n^{n - 1} + nC_n^n = \sum\limits_{k = 1}^n {kC_n^k} \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {nC_{n - 1}^{k - 1}}  = n(C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + ... + C_{n - 1}^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1}) = n{(1 + 1)^{n - 1}} = n{.2^{n - 1}}\end{array}$

Vậy A đúng.

Với B: Ta sẽ dùng đẳng thức$(k - 1)kC_n^k = (n - 1)nC_{n - 2}^{k - 2}$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{S_2} = 1.2.C_n^2 + 2.3.C_n^3 + ... + (n - 1).n.C_n^n = \sum\limits_{k = 2}^n {(k - 1)kC_n^k}  = \sum\limits_{k = 2}^n {(n - 1)nC_{n - 2}^{k - 2}} \\ = (n - 1)n(C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + ... + C_{n - 2}^{n - 3} + C_{n - 2}^{n - 2}) = (n - 1)n{.2^{n - 2}}\end{array}$

Vậy B đúng.

Với C: Ta có ${k^2}C_n^k = \left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}$.

Khi đó ta có: ${S_3} = {1^2}C_n^1 + {2^2}C_n^2 \ldots  + {\left( {n - 1} \right)^2}C_n^{n - 1} + {n^2}C_n^n$.

$= \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} C_n^k = \sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\left( {n - 1} \right)nC_{n - 2}^{k - 2} + nC_{n - 1}^{k - 1}} \right]}$.

$= \left( {n - 1} \right)n\left( {C_{n - 2}^0 + C_{n - 2}^1 + C_{n - 2}^2 + ... + C_{n - 2}^{n - 3} + C_{n - 2}^{n - 2}} \right)$ $+ n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)$.

$= \left( {n - 1} \right)n{2^{n - 2}} + n{2^{n - 1}} = n\left( {n + 1} \right){2^{n - 2}}.$.

Vậy C đúng.

Tính tổng ${S_4}$: Các số hạng của ${S_4}$ có dạng $\dfrac{{C_n^k}}{{k + 1}}$nên ta sẽ dùng đẳng thức $\dfrac{{C_n^k}}{{k + 1}} = \dfrac{{C_{n + 1}^{k + 1}}}{{n + 1}}$.

Khi đó ta có: ${S_4} = \dfrac{{C_n^0}}{1} + \dfrac{{C_n^1}}{2} + \dfrac{{C_n^2}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^{n - 1}}}{n} + \dfrac{{C_n^n}}{{n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_n^k}}{{k + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\dfrac{{C_{n + 1}^{k + 1}}}{{n + 1}}} }$.

$= \dfrac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^2 + ... + C_{n + 1}^n + C_{n + 1}^{n + 1}} \right)$ $= \dfrac{1}{{n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - C_{n + 1}^0} \right) = \dfrac{1}{{n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right)$.

Từ đây ta chọn D.