Câu hỏi:
2 năm trước
Tính giới hạn của dãy số \({u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \(\dfrac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} \) \(=\dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {k + 1 - k} \right)}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{\sqrt k .\sqrt {k + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt k }} - \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)
\( \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} \) \(= \dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt n }} - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)
Suy ra \({u_n} = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\) do \(\lim \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0\)
Hướng dẫn giải:
\(\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in \mathbb{N}*\)
