Một thầy giáo có \(10\) cuốn sách khác nhau trong đó có \(4\) cuốn sách Toán, \(3\) cuốn sách Lí, \(3\) cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra \(5\) cuốn và tặng cho \(5\) em học sinh \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn.

Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có \(1\) môn hết sách.

TH1: Môn Toán hết sách:

Số cách chọn \(4\) cuốn sách Toán là \(1\) cách.

Số cách chọn \(1\) cuốn trong \(6\) cuốn còn lại là \(6\) cách.

Vậy có \(6\) cách chọn sách.

Số cách tặng \(5\) cuốn sách đó cho \(5\) em học sinh là \(A_5^5 = 120\) cách.

Vậy có \(6.120 = 720\) cách.

TH2: Môn Lí hết sách:

Số cách chọn \(3\) cuốn sách Lí là \(1\) cách.

Số cách chọn \(2\) cuốn trong \(7\) cuốn còn lại là \(C_7^2\) cách.

Vậy có \(21\) cách chọn sách.

Số cách tặng \(5\) cuốn sách đó cho \(5\) em học sinh là \(A_5^5 = 120\) cách.

Vậy có \(21.120 = 2520\) cách.

TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp \(2\) thì có \(2520\) cách.

Số cách chọn \(5\) cuốn bất kì trong \(10\) cuốn và tặng cho \(5\) em là \(C_{10}^5.A_5^5 = 30240\) cách.

Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là \(30240 - 720 - 2520 - 2520 = 24480\) cách.