Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp \(A\), 4 học sinh lớp \(B\) và 3 học sinh lớp \(C\). Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là \(C_{12}^4 = 495\) cách.

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:

\( * \) TH1: Lớp \(A\) có hai học sinh, các lớp \(B,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp \(A\) có \(C_5^2\) cách.

Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp \(B\) có \(C_4^1\) cách.

Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp \(C\) có \(C_3^1\) cách.

Suy ra số cách chọn là \(C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120\) cách.

\( * \) TH2: Lớp \(B\) có 2 học sinh, các lớp \(A,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90\) cách.

\( * \) TH3: Lớp \(C\) có 2 học sinh, các lớp \(A,B\) mỗi lớp có 1 học sinh:

Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60\) cách.

Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là \(120 + 90 + 60 = 270\) cách.

Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là \(495 - 270 = 225\) cách.