Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Bài toán đếm

Bước 1: Tìm số đường chéo của đa giác n-cạnh.

Chọn 2 trong n đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo.

Tổng số cạnh và đường chéo là $C_n^2$.

Mà số cạnh là n.

=> Số đường chéo là $C_n^2 - n$

Bước 2: Lập phương trình ẩn n. Tìm n

Vì đa giác có số cạnh bằng số đường chéo nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}C_n^2 - n = n \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} - n = n\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 4n \Leftrightarrow n = 5\end{array}$

Vậy đa giác có 5 cạnh.

Bước 1: Tính số tam giác

Chia các đường thẳng lần lượt song song với AB, BC và CA làm 3 nhóm. Lấy mỗi nhóm 1 đường thẳng thì giao điểm của các đường thẳng đó tạo thành một tam giác.

+ Có 4 cách chọn 1 đường thẳng song song với AB.

+ Có 5 cách chọn 1 đường thẳng song song với BC

+ Có 6 cách chọn 1 đường thẳng song song với CA.

$\Rightarrow$ Số tam giác là $4.5 .6=120$.

Bước 2: Tính số hình thang.

Mỗi hình thang không phải hình bình hành được tạo thành bởi 4 đường thẳng: 2 đường thẳng thuộc nhóm này và một đường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại. Chẳng hạn 2 đường thẳng song song với AB, 1 đường thẳng song song với BC và 1 đường thẳng song song với AC.

$\Rightarrow$ Số hình thang là $C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{1} \cdot C_{6}^{1}+C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{2} \cdot C_{6}^{1}+C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{1}$$\cdot C_{6}^{2}=720$ hình thang

Bước 1: Tính số cách chọn 3 điểm phân biệt

Số cách chọn 3 điểm phân biệt trong 16 điểm là: $C_{16}^{3}=560$.

Bước 2: Tính số cách chọn 3 điểm phân biệt thẳng hàng.

Trong số các cách chọn trên thì số cách chọn 3 điểm phân biệt thẳng hàng là:

Chọn 3 điểm thuộc cạnh $C D$ có 1 cách chọn.

Chọn 3 điểm thuộc cạnh $D A$ có $C_{10}^{3}=120$ cách chọn.

Tức là có $1+120=121$ cách chọn 3 điểm thẳng hàng trong 16 điểm đã cho.

Bước 3: Tính số cách chọn 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Vậy có: $560-121=439$ cách chọn 3 điểm phân biệt không thẳng hàng từ 16 điểm đã cho.

Mỗi cách chọn đó hình thành một tam giác.

Vậy số tam giác tạo thành từ 16 điểm đã cho là: 439 tam giác.

Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành mặt phẳng.

Một mặt phẳng xác định khi biết 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Bước 2: Sử dụng công thức tổ hợp.

Số mặt phẳng xác định bởi 3 điểm trong $p$ điểm là: $C_{p}^{3}$.

Nhưng trong $p$ điểm đã cho có $q$ điểm đồng phẳng, thì $q$ điểm này chỉ xác định được một mặt phẳng, và số cách chọn 3 điểm trong $q$ điểm này là: $C_{q}^{3}$.

Vậy số mặt phẳng cần tìm là: $C_{p}^{3}-C_{q}^{3}+1 .$

Bước 1: Tìm số đường chéo của đa giác n-cạnh.

Chọn 2 trong $n$ đỉnh của đa giác ta lập được 1 cạnh hoặc đường chéo.

Số cạnh và đường chéo là $C_{n}^{2} .$ Suy ra số đường chéo là $C_{n}^{2}-n$.

Bước 2: Lập phương trình ẩn n. Tìm n

Ta có: $C_{n}^{2}-n=2 n \Leftrightarrow \dfrac{n !}{2 !(n-2) !}-n=2 n$.

$\Leftrightarrow n(n-1)=6 n \Leftrightarrow n=7 .$

Vậy có 7 cạnh.

Ta có $A_n^3 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}}$

Để tạo thành 1 tam giác ta phải chọn được 1 điểm thuộc đường thẳng này và 2 điểm còn lại thuộc

đường thẳng kia.

TH1: Lấy 1 điểm thuộc ${d_1}$ và 2 điểm thuộc ${d_2}$

Số cách chọn là: $C_{10}^1.C_8^2 = 280$

TH2: Lấy 2 điểm thuộc ${d_1}$ và 1 điểm thuộc ${d_2}$

Số cách chọn là: $C_{10}^2.C_8^1 = 360$

Vậy có tất cả $280 + 360 = 640$ tam giác được tạo thành.

Ta có $C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}$

Ta có $A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} \Rightarrow A_n^4 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 4} \right)!}}\,\,\left( {n \ge 4} \right)$.

Xếp 20 chiếc bút chì thành một hàng ngang, giữa chúng có 19 chỗ trống. Số cách chia bút chì thỏa mãn điều kiện đề bài chính là số cách chia 20 chiếc bút thành 3 phần, tức là ta cần đặt 2 "vách ngăn" vào 2 chỗ trống trong số 19 chỗ trống nói trên, vậy số cách chia là $C_{19}^2 = 171$.

Số cách xếp 4 học sinh lớp 10A vào hàng phía trước là $A_6^4$.

Số cách xếp 4 học sinh lớp 10C vào hàng phía sau là $A_6^4$.

Lúc này ta thấy còn 2 chỗ trống ở hàng phía trước và 2 chỗ trống ở hàng phía sau, tức là còn tất cả 4 chỗ trống.

Vì vậy số cách xếp 4 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí còn lại là 4!.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có tất cả $A_6^4.A_6^4.4! = 3110400$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: $A_n^5 = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 5} \right)!}}$

Bước 1:

Mỗi lần lấy ra 3 phần tử khác nhau và sắp xếp chúng các thứ tự khác nhau thì được một số khác nhau nên số các số thỏa mãn đề bài là chỉnh hợp chập 3 của 6.

Bước 2:

Các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ 6 chữ số đã cho là $A_6^3 = 120$ số.

Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abc}$ là số cần lập.

Chọn 3 số $a,\,\,b,\,\,c$ bất kì trong 9 số ta có: $A_9^3$ cách chọn.

Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {abc}$ là số cần lập.

Khi đó $a$ có 9 cách chọn.

$b \ne a \Rightarrow b$ có 8 cách chọn.

$c \ne a,\,\,c \ne b \Rightarrow c$ có 7 cách chọn

$\Rightarrow$ có $9.8.7 = A_9^3 = 504$ cách chọn.

Bước 1: Chia làm 3 trường hợp

Để chọn ra 3 người để lập 1 đoàn đi công tác, trong đó phải có cả nam lẫn nữ và phải có cả Toán học lẫn Vật lý, ta có các trường hợp sau:

TH1: 1 nhà Vật lý nam, 2 nhà Toán học nữ có $C_4^1.C_3^2$ cách.

TH2: 1 nhà Vật lý nam, 1 nhà Toán học nam, 1 nhà toán học nữ có $C_4^1.C_5^1.C_3^1$ cách.

TH3: 2 nhà Vật lý nam, 1 nhà Toán học nữ có $C_4^2.C_3^1$ cách.

Bước 2: Tính tổng

Vậy có $C_4^1 \cdot C_3^2 + C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_3^1 + C_4^2 \cdot C_3^1 = 90$ cách.

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 8 chiếc ghế bằng $A_8^5$ cách.

Bước 1:

Lấy 3 trong 20 điểm ${A_1},{A_2},{A_3}$,${B_1},{B_2},{B_3},{B_4}$,${C_1},{C_2},...,{C_{13}}$ có số cách là $C_{20}^3$.

Bước 2:

Mặt khác 3 điểm trong ${A_1},{A_2},{A_3}$

                                   ${B_1},{B_2},{B_3},{B_4}$

                                   ${C_1},{C_2},...,{C_{13}}$

thì sẽ không tạo thành một tam giác vì 3 điểm như thế thẳng hàng.

Bước 3:

Do số các tam giác bằng số cách lấy 3 điểm không thẳng hàng trong 20 điểm nên số tam giác được tạo thành từ 20 đỉểm đã cho là $C_{20}^3 - C_3^3 - C_4^3 - C_{13}^3 = 849$

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\overline {abcd}$$\left( {a \ne 0} \right)$

Bước 2:

Để số cần tìm là số chẵn thì $d \in \left\{ {0;2;4} \right\}$

Bước 3:

+) $d = 0$ khi đó:

a có 5 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn.

Khi đó có 5.4.3=60 số thỏa mãn.

+) $d \in \left\{ {2;4} \right\}$ khi đó

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn.

khi đó có 4.4.3.2=96 số thỏa mãn.

Bước 4:

Vậy có tất cả $60 + 96 = 156$ số.

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có $C_9^2$ cách.

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có $C_9^3$ cách.

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có $C_9^4$ cách.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $C_9^2.C_9^3.C_9^4 = 1260$ số.

Bước 1:

Cả lớp có $15 + 17 = 32$ bạn

Bước 2:

Mỗi một bạn trong lớp gồm 32 bạn là tổ hợp chập 1 của 32.

Số các tổ hợp chập 1 của 32 là $C_{32}^1 = 32$

Như vậy có  cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng.

Cách khác : Sử dụng quy tắc cộng

Có $2$ phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.

- Có $15$ cách chọn lớp trưởng là nam.

- Có $17$ cách chọn lớp trưởng là nữ.

Vậy có tất cả $15 + 17 = 32$ cách chọn lớp trưởng.