Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Bài toán đếm

Bước 1. Chọn 3 bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó văn thể mĩ từ 45 bạn. Sau đó chọn 2 bạn làm thư kí từ 42 bạn còn lại.

Để chọn ra ban cán sự lớp thỏa mãn yêu cầu, ta tiến hành chọn theo hai bước sau:

+)  Chọn 3 bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó văn thể mĩ từ 45 bạn. Mỗi một cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm ba bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó văn thể mĩ từ 45 bạn học sinh lóp 11 A 2 tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 45 phần tử. Do đó số cách chọn là: $A_{45}^3$.

+) Chọn 2 bạn làm thư kí từ 42 bạn còn lại. Mỗi cách chọn này không phân biệt về thứ tự nên số cách chọn là: $C_{42}^2$.

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân.

Công việc được thực hiện hai bước liên tiếp nên theo qui tắc nhân, ta có số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $A_{45}^3.C_{42}^2 = 3! \cdot C_{45}^3.C_{42}^2$

Mỗi cách xếp $6$ học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của $6$ phần tử.

Vậy có ${P_6} = 6! = 720$ cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc.

Gọi số tạo thành có dạng $x = \overline {abc}$, với $a$, $b$, $c$ đôi một khác nhau và lấy từ $A$.

Chọn một vị trí $a,\,\,b$ hoặc $c$ cho số $3$ có $3$ cách chọn.

Chọn hai chữ số khác $3$ từ $A$ và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của $x$ có $A_4^2$ cách chọn

Theo quy tắc nhân có $3.A_4^2 = 36$ cách chọn

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa yêu cầu.

Vậy có $36$ số cần tìm.

Bước 1 :

Gọi số có 4 chữ số cần lập là $\overline {abcd} \,\,\left( {0 \le a;b;c;d \le 9;\,\,a \ne 0;\,\,a,b,c,d \in \mathbb{N}} \right)$.

Bước 2 :

+ Số cần lập là số chẵn $\Rightarrow d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow$ Có 3 cách chọn $d$.

+ Ứng với mỗi cách chọn $d$ có $A_5^3 = 60$ cách chọn 3 chữ số $a,\,\,b,\,\,c$.

Bước 3 :

Áp dụng quy tắc nhân ta có: $3.60 = 180$ số thỏa mãn.

Ta thấy HBH được tạo ra khi chọn 2 đường thẳng a và 2 đường thẳng b

Chọn 2 đường a: $C_5^2$

Chọn 2 đường b: $C_7^2$

 $\Rightarrow$ $C_5^2$ $\times$ $C_7^2$

Số cách xếp 8 học sinh thành một hàng dọc là: $8! = 40320.$

Mỗi cách xếp chỗ cho $n$ người thành một hàng ngang là một hoán vị của $n$ phần tử.

Vậy số cách xếp là ${P_n} = n!$

Số các hoán vị khác nhau của $17$ phần tử là $17!$.

Gom $2$ quyển sách thứ nhất và thứ hai thành $1$ quyển nên coi như lúc này chỉ có $9$ quyển sách.

Hoán vị hai quyển sách có $2! = 2$ cách.

Sắp $9$ quyển sách (trong đó có bộ $2$ quyển sách vừa gom) vào $9$ vị trí, có $9!$ cách.

Vậy có $2.9! = 725760$ cách.

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$

Do đó A và C đúng, B sai.

Công thức D cũng đúng vì $\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)n!}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$.

Mỗi véc tơ được tạo thành thỏa mãn bài toán ứng với một chỉnh hợp chập $2$ của $10$ phần tử.

Vậy số véc tơ là $A_{10}^2$.

Chọn $4$ trong $7$ chữ số để sắp vào $4$ vị trí (phân biệt thứ tự) có $A_7^4 = \dfrac{{7!}}{{3!}} = 7.6.5.4$.

Mỗi tập con gồm $7$ phần tử trong tập hợp gồm $18$ phần tử ứng với một cách chọn $7$ trong số $18$ phần tử không phân biệt thứ tự hay chính là một tổ hợp chập $7$ của $18$.

Vậy số tập hợp cần tìm là $C_{18}^7$.

Số tổ hợp chập $9$ của $9$ phần tử là $C_9^9$.

Chọn $6$ trong $10$ bánh có $C_{10}^6 = 210$ cách.

Số các hoán vị khác nhau của $n$ phần tử là ${P_n} = n!$

Số các hoán vị khác nhau của $10$ phần tử là ${P_{10}} = 10!$.

Gọi số thỏa mãn bài toán là: $\overline {abcde}$.

Mỗi số có $5$ chữ số thỏa mãn bài toán là một hoán vị của $5$ chữ số trên.

Số các số là $5! = 120$ (số).

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$

Số chỉnh hợp chập $5$ của $9$ phần tử là $A_9^5$.