Cấp số cộng

Ta có: \({u_m} = {u_1} + \left( {m - 1} \right)d;\,{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d;\,{u_p} = {u_1} + \left( {p - 1} \right)d\)

Xét phương án A:

Ta có: \(\left( {n - p} \right){u_m} + \left( {p - m} \right){u_n} + \left( {m - n} \right){u_p}\)

\( = \left( {n - p} \right)\left[ {{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \right] \)\(+ \left( {p - m} \right)\left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \)\(+ \left( {m - n} \right)\left[ {{u_1} + \left( {p - 1} \right)d} \right]\)

$= \left( {n - p} \right)u_1+ \left( {n - p} \right) \left( {m - 1} \right)d$$+ \left( {p-m} \right)u_1+ \left( {p-m} \right) \left( {n - 1} \right)d$$+ \left( {m-n} \right)u_1+ \left( {m-n} \right) \left( {p - 1} \right)d$

$= \left( {n - p+p-m+m-n} \right)u_1+ \left[ { \left( {n-p} \right) \left( {m - 1} \right)+\left( {p-m} \right) \left( {n - 1} \right)+\left( {m-n} \right) \left( {p - 1} \right)} \right]d$

$=0.u_1+0.d$

$=0$

Vậy đáp án A.

Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) theo thứ tự lập thành CSC thì \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \dfrac{b}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} =  - \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} =  - \dfrac{b}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} =  - \dfrac{b}{{3{\rm{a}}}} =  - \dfrac{{ - 3}}{3} = 1\).

Suy ra \({1^3} - {3.1^2} - 1 + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

Với \(m =  \pm 2\), ta có phương trình \({x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\).

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 1,x = 1,x = 3\)

Ba số \( - 1,1,3\) lập thành cấp số cộng.

Vậy các giá trị cần tìm là \(m =  \pm 2\).

Do đó D là phương án đúng.

Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) theo thứ tự lập thành CSC thì \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \dfrac{b}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} =  - \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} =  - \dfrac{b}{a}\)  \( \Leftrightarrow {x_2} =  - \dfrac{b}{{3a}} =  - \dfrac{{ - 9}}{3} = 3\)

Suy ra \({3^3} - {9.3^2} + 23.3 + {m^3} - 4{m^2} + m - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow \) \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow m =  - 1,m = 2,m = 3\)

Với \(m =  - 1,m = 2,m = 3\) thì \({m^3} - 4{m^2} + m + 6 = 0\) nên \({m^3} - 4{m^2} + m - 9 =  - 15\).

Do vậy, với \(m =  - 1,m = 2,m = 3\) ta có phương trình \({x^3} - 9{x^2} + 23x - 15 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1,x = 3,x = 5\).

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.

Vậy \(m =  - 1,m = 2,m = 3\) là các giá trị cần tìm.

Do đó \({\left( { - 1} \right)^3} + {2^3} + {3^3} = 34\)

Ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là \(9{b^2} = 100ac\) hay \({9.10^2} = 100.1.m \Leftrightarrow m = 9\).

Với \(m = 9\) thì phương trình đã cho trở thành \({x^4} - 10{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1;x =  \pm 3\).

Bốn số \( - 3; - 1;1;3\) lập thành một cấp số cộng nên \(m = 9\) là giá trị cần tìm.

Ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là \(9{b^2} = 100ac\) hay \(9{\left( {2m + 2} \right)^2} = 100.1.\left( {2m + 1} \right) \Leftrightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m =  - \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\)

Với \(m = 4\), ta có phương trình \({x^4} - 10{x^2} + 9 = 0\). Phương trình nàu có 4 nghiệm là \( - 3; - 1;1;3\) lập thành cấp số cộng.

Với \(m =  - \dfrac{4}{9}\), ta có phương trình \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\). Phương trình này có 4 nghiệm \( - 1; - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};1\) lập thành cấp số cộng.

Vậy \(m = 4;\,m =  - \dfrac{4}{9}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó \({4^2} + {\left( { - \dfrac{4}{9}} \right)^2} = \dfrac{{1312}}{{81}}\).

Bước 1: Tính \({u_1} + {u_{100}}\)

Gọi \({u_1}\) là số hạng đầu và \(d\) là công sai của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\). Ta có \({u_{50}} + {u_{51}} = 100 \Leftrightarrow {u_1} + 49d + {u_1} + 50d = 100\)

\( \Leftrightarrow {u_1} + {u_1} + 99d = 100\)

\( \Leftrightarrow {u_1} + {u_{100}} = 100\)

Bước 2: Tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)

Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng

\({S_{100}} = \dfrac{{100\left( {{u_1} + {u_{100}}} \right)}}{2} = \dfrac{{100.100}}{2} = 5000\)

Giả sử trồng được \(n\) hàng cây \(\left( {n > 0} \right)\), khi đó tổng số cây trồng được trên \(n\) hàng đó là:

\(1+2+3+4+...+n=\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).

Theo bài ra ta có \(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 5151 \Leftrightarrow {n^2} + n - 10302 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 101\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 102\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy số hàng cây trồng được là \(101\) hàng.

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa a, b và c, từ đó so sánh 3 số.

Theo giả thiết a ; b ; c ; p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{b + p = 2c}\end{array}t \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{b + \dfrac{{a + b + c}}{2} = 2c}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{a + c + 3b = 4c}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2}\\{5b = 4c}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{c = \dfrac{5}{4}b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + \dfrac{5}{4}b = 2b}\\{c = \dfrac{5}{4}b}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \dfrac{4}{3}a}\\{5 = \dfrac{5}{4}b = \dfrac{5}{3}a}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(c > b > a\).

Bước 2: Tính \(\cos A\)

Do đó góc \(A\) là góc nhỏ nhất.

Từ đó ta có \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{16}}{9}{a^2} + \dfrac{{25}}{9}{a^2} - {a^2}}}{{2\dfrac{4}{3}a \cdot \dfrac{5}{3}a}} = \dfrac{4}{5}\).

Số tiền phải thanh toán là 1 cấp số cộng với \({u_1} = 10000\) đồng và \(d = 3000\) đồng, ta có

Vậy giá tiền phải thanh toán khi khoan một giếng sâu 100 mét là:

\({S_{100}} = \dfrac{{\left( {2{u_1} + 99d} \right)100}}{2} \)\(= \left( {2.10000 + 99.3000} \right).100 = 15\,850\,\,000\) (đồng)

\({u_5} = {u_1} + 4d\)\( = 3 + 4.3 = 15\)

Công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2\) là:

\({u_n} = 3 + \left( {n - 1} \right)2 = 3 + 2n - 2 = 2n + 1\).

Kiểm tra từng đáp án cho đến khi tìm được đáp án đúng.

Đáp án A: \(1 - \left( { - 3} \right) = 5 - 1 = 9 - 5 = 4 \ne 14 - 9 = 5\)

Đáp án B:

\(2 - 5 = \left( { - 1} \right) - 2 = \left( { - 4} \right) - \left( { - 1} \right) \) \(= \left( { - 7} \right) - \left( { - 4} \right) =  - 3 \)

Đáp án B là 1 cấp số cộng.

Đáp án A ta có \({a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {3n - 5} \right)\) \( = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 \)

\(\Rightarrow \left( {{a_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai $d = 3.$

Đáp án B ta có  \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 \left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 n} \right) \) \(= \sqrt 3  - \sqrt 5 n - \sqrt 5  - \sqrt 3  + \sqrt 5 n =  - \sqrt 5  \)

\(\Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai \(d =  - \sqrt 5 \)

Đáp án C ta có \({c_{n + 1}} - {c_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {n + 1} \right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)\) không là CSC.

Đáp án D ta có \(\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left( {{d_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 0.$

\({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 3.$

\({u_3} = {u_1} + 2d\) \( \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d =  - 2 - 2.3 =  - 8\)

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.\)

Ta có \({S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},\) \({S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} \) \(\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2017\\{u_5} = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 2017\\{u_1} + 4d = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2041\\d =  - 24\end{array} \right. \\ \Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d \\= 2041 + 2017\left( { - 24} \right) =  - 46367\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 6\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.

Ta có

\(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\)

Vậy ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \) Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.