Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a ; b ; c. Gọi \(p\) là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số a; b ; c ; p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đó.

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa a, b và c, từ đó so sánh 3 số.

Theo giả thiết a ; b ; c ; p theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{b + p = 2c}\end{array}t \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{b + \dfrac{{a + b + c}}{2} = 2c}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{a + c + 3b = 4c}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2}\\{5b = 4c}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 2b}\\{c = \dfrac{5}{4}b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + \dfrac{5}{4}b = 2b}\\{c = \dfrac{5}{4}b}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \dfrac{4}{3}a}\\{5 = \dfrac{5}{4}b = \dfrac{5}{3}a}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(c > b > a\).

Bước 2: Tính \(\cos A\)

Do đó góc \(A\) là góc nhỏ nhất.

Từ đó ta có \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{16}}{9}{a^2} + \dfrac{{25}}{9}{a^2} - {a^2}}}{{2\dfrac{4}{3}a \cdot \dfrac{5}{3}a}} = \dfrac{4}{5}\).