Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - x + {m^2} - 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) theo thứ tự lập thành CSC thì \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} + 2{x_2} = - \dfrac{b}{a} \Leftrightarrow 3{x_2} = - \dfrac{b}{a}\) \( \Leftrightarrow {x_2} = - \dfrac{b}{{3{\rm{a}}}} = - \dfrac{{ - 3}}{3} = 1\).
Suy ra \({1^3} - {3.1^2} - 1 + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2\).
Với \(m = \pm 2\), ta có phương trình \({x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\).
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1,x = 1,x = 3\)
Ba số \( - 1,1,3\) lập thành cấp số cộng.
Vậy các giá trị cần tìm là \(m = \pm 2\).
Do đó D là phương án đúng.
Hướng dẫn giải:
- Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sử dụng định lí Vi-et và tính chất của cấp số cộng để tìm ra một trong ba nghiệm đó.
- Thử lại và kết luận.
