Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng

Ta có: \({u_m} = {u_1} + \left( {m - 1} \right)d;\,{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d;\,{u_p} = {u_1} + \left( {p - 1} \right)d\)

Xét phương án A:

Ta có: \(\left( {n - p} \right){u_m} + \left( {p - m} \right){u_n} + \left( {m - n} \right){u_p}\)

\( = \left( {n - p} \right)\left[ {{u_1} + \left( {m - 1} \right)d} \right] \)\(+ \left( {p - m} \right)\left[ {{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] \)\(+ \left( {m - n} \right)\left[ {{u_1} + \left( {p - 1} \right)d} \right]\)

$= \left( {n - p} \right)u_1+ \left( {n - p} \right) \left( {m - 1} \right)d$$+ \left( {p-m} \right)u_1+ \left( {p-m} \right) \left( {n - 1} \right)d$$+ \left( {m-n} \right)u_1+ \left( {m-n} \right) \left( {p - 1} \right)d$

$= \left( {n - p+p-m+m-n} \right)u_1+ \left[ { \left( {n-p} \right) \left( {m - 1} \right)+\left( {p-m} \right) \left( {n - 1} \right)+\left( {m-n} \right) \left( {p - 1} \right)} \right]d$

$=0.u_1+0.d$

$=0$

Vậy đáp án A.