Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m + 1 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó.

Ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là \(9{b^2} = 100ac\) hay \(9{\left( {2m + 2} \right)^2} = 100.1.\left( {2m + 1} \right) \Leftrightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m =  - \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\)

Với \(m = 4\), ta có phương trình \({x^4} - 10{x^2} + 9 = 0\). Phương trình nàu có 4 nghiệm là \( - 3; - 1;1;3\) lập thành cấp số cộng.

Với \(m =  - \dfrac{4}{9}\), ta có phương trình \(9{x^4} - 10{x^2} + 1 = 0\). Phương trình này có 4 nghiệm \( - 1; - \dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};1\) lập thành cấp số cộng.

Vậy \(m = 4;\,m =  - \dfrac{4}{9}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó \({4^2} + {\left( { - \dfrac{4}{9}} \right)^2} = \dfrac{{1312}}{{81}}\).