Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ xác định bởi ${a_1} = 1,{a_2} = 2$ và ${a_{n + 2}} = \sqrt 3 .{a_{n + 1}} - {a_n},\forall n \ge 1$. Tìm số nguyên dương $p$ nhỏ nhất sao cho ${a_{n + p}} = {a_n},\forall n \in \mathbb{N}^*$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
- Trước hết ta kiểm tra phương án với $p$ nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $({a_n}):$$\begin{array}{l}{a_1} = 1;{a_1} = 2;{a_3} = 2\sqrt 3 - 1;{a_4} = 4 - \sqrt 3 ;{a_5} = 2\sqrt 3 - 2;{a_6} = 2 - \sqrt 3 ;{a_7} = - 1;\\{a_8} = - 2;{a_9} = 1 - 2\sqrt 3 ;{a_{10}} = \sqrt 3 - 4.\end{array}$
Dễ dàng thấy ${a_{10}} = \sqrt 3 - 4 \ne 1 = {a_1}$ nên phương án A là sai.
- Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy $({a_n})$ ta được
$\begin{array}{l}({a_n}):{a_1} = 1;{a_1} = 2;{a_3} = 2\sqrt 3 - 1;{a_4} = 4 - \sqrt 3 ;{a_5} = 2\sqrt 3 - 2;{a_6} = 2 - \sqrt 3 ;{a_7} = - 1;\\{a_8} = - 2;{a_9} = 1 - 2\sqrt 3 ;{a_{10}} = \sqrt 3 - 4;{a_{11}} = 2 - 2\sqrt 3 ;{a_{12}} = \sqrt 3 - 2;{a_{13}} = 1;{a_{14}} = 2.\end{array}$
Từ đây ta dự đoán được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$ Vậy số nguyên dương cần tìm là $p = 12.$
Hướng dẫn giải:
Cho \(n = 1\) và \(p\) nhận lần lượt các giá trị ở mỗi đáp án từ nhỏ đến lớn, tính các số hạng \({a_1},{a_2},...\) đến khi thỏa mãn yêu cầu thì dừng lại và kết luận.
