Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({S_2} = 4\) và \({S_3} = 13.\) Tìm \({S_5}.\)
Ta có \({u_3} = {S_3} - {S_2} = 9\) \( \Rightarrow {u_1}{q^2} = 9 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{9}{{{q^2}}}\)
Vì \({S_2} = 4\) nên \({u_1} + {u_1}q = 4.\) Do đó \(\dfrac{9}{{{q^2}}} + \dfrac{9}{q} = 4\)
\( \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0\) \( \Leftrightarrow q = 3\) hoặc \(q = - \dfrac{3}{4}.\)
+ Với \(q = 3\) thì \({u_1} = 1,\) \({u_6} = {u_1}{q^5} = 243.\)
Suy ra \({S_5} = \dfrac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \dfrac{{1 - 243}}{{1 - 3}} = 121.\)
+ Với \(q = - \dfrac{3}{4}\) thì \({u_1} = 16,\) \({u_6} = - \dfrac{{243}}{{64}}.\)
Suy ra \({S_5} = \dfrac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \dfrac{{181}}{{16}}.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 8\) và biểu thức \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \({S_{10}}.\)
Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân. Khi đó
$4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1} $ $= 4{u_1}{q^2} + 2{u_1}q - 15{u_1} $ $= 32{q^2} + 16q - 120 $ $= 2\left( {16{q^2} + 8q + 1} \right) - 122 $ $= 2{\left( {4q + 1} \right)^2} - 122\ge -122, \forall q$
Dấu bằng xảy ra khi \(4q + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow q = - \dfrac{1}{4}.\)
Suy ra: \({S_{10}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 8.\dfrac{{1 - {{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}} = \dfrac{{2\left( {{4^{10}} - 1} \right)}}{{{{5.4}^8}}}\)
Biết rằng tồn tại hai giá trị \({m_1}\) và \({m_2}\) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \(2{{\rm{x}}^3} + 2\left( {{m^2} + 2m - 1} \right){x^2} - 7\left( {{m^2} + 2m - 2} \right)x - 54 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3.\)
Ta có \( - \dfrac{d}{a} = - \dfrac{{ - 54}}{2} = 27.\)
Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là \(x = \sqrt[3]{{27}} = 3\) phải là nghiệm của phương trình đã cho.
\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 2;m = - 4.\)
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số \(m\) nên \(m = 2\) và \(m = - 4\) là các giá trị thỏa mãn
Suy ra \(P = {2^3} + {\left( { - 4} \right)^3} = - 56.\)
Các số \(x + 6y,\) \(5x + 2y,\) \(8x + y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số \(x + \dfrac{5}{3},\) \(y - 1,\) \(2x - 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm \(x\) và \(y.\)
+ Ba số \(x + 6y,5x + 2y,8x + y\) lập thành cấp số cộng nên \(\left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right) = 2\left( {5x + 2y} \right) \Leftrightarrow x = 3y\).
+ Ba số \(x + \dfrac{5}{3},y - 1,2x - 3y\) lập thành cấp số nhân nên \(\left( {x + \dfrac{5}{3}} \right)\left( {2x - 3y} \right) = {\left( {y - 1} \right)^2}\).
Thay \(x = 3y\) vào ta được \(8{y^2} + 7y - 1 = 0 \Leftrightarrow y = - 1\) hoặc \(y = \dfrac{1}{8}\).
Với \(y = - 1\) thì \(x = - 3\); với \(y = \dfrac{1}{8}\) thì \(x = \dfrac{3}{8}\).
Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$, xác định bởi: ${x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Ta có ${x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n};{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}$.
Phương án A: ${x_{n + 2}} - 5{x_{n + 1}} + 6{x_n} = 0.$
Phương án B: ${x_{n + 2}} - 6{x_{n + 1}} + 5{x_n} = - {8.3^n} + {15.2^n} \ne 0.$
Phương án C: ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0.$
Phương án D: ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0.$
Kí hiệu \(k! = k\left( {k - 1} \right)...2.1,\forall k \in {\mathbb{N}^*}\). Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), đặt \({S_n} = 1.1! + 2.2! + ... + n.n!\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Với \(n = 1\) thì \({S_1} = 1.1! = 1\) (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Biết rằng \(\dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{a{n^2} + bn}}{{c{n^2} + dn + 16}}\), trong đó \(a,b,c,d\) và \(n\) là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức \(T = \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right)\) là:
Ta có: \(\dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} \right]\)
Suy ra: \(\dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]\) \(=\dfrac{{{n^2} + 3n}}{{4{n^2} + 12n + 8}} = \dfrac{{2{n^2} + 6n}}{{8{n^2} + 24n + 16}}\).
Đối chiếu với hệ số, ta được: \(a = 2;b = 6;c = 8;d = 24\).
Suy ra: \(T = \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) = 300\).
Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi ${a_1} = 1;{a_{n + 1}} = - \dfrac{3}{2}{a_n}^2 + \dfrac{5}{2}{a_n} + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Số hạng thứ $2018$ của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có ${a_1} = 1;{a_2} = 2;{a_3} = 0;{a_4} = 1;{a_2} = 2;{a_6} = 0;...$
Từ đây chúng ta có thể dự đoán ${a_{n + 3}} = {a_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với \(n = 1\) thì ${a_1} = 1$ và ${a_4} = 1$. Vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là ${a_{k + 3}} = {a_k}$.
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là chứng minh ${a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}$.
Thật vậy, ta có \({a_{k + 4}} = - \dfrac{3}{2}a_{k + 3}^2 + \dfrac{5}{2}{a_{k + 3}} + 1\) (theo hệ thức truy hồi).
Theo giả thiết quy nạp thì ${a_{k + 3}} = {a_k}$ nên \({a_{k + 4}} = - \dfrac{3}{2}a_k^2 + \dfrac{5}{2}{a_k} + 1 = {a_{k + 1}}\).
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Suy ra ${a_{n + 3}} = {a_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
Từ kết quả phần trên, ta có : nếu \(m \equiv p\left( {\mod 3} \right)\) thì ${a_m} = {a_p}$.
Ta có \(2018 \equiv 2\left( {\mod 3} \right)\) nên ${a_{2018}} = a_2=2$.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1(n \ge 1)}\end{array}} \right.\).
Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Bước 1: Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số thỏa mãn: \({u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)\).
Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số thỏa mãn: \({u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)\).
Bước 2: Tìm số hạng tổng quát.
Khi đó, \({u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + n + 1 = 10\left( {{v_n} + n} \right) - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 10{v_n}\)
$=>$\(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - 1 = 1\) và công bội \(q = 10\).
\( \Rightarrow {v_n} = {1.10^{n - 1}} = {10^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {10^{n - 1}} + n\)
Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {10^{n - 1}} + n\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1(n \ge 1)}\end{array}} \right.\).
Số hạng \({u_k} = 100006\) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Ta có \({u_k} = 100006 \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100006\)
\( \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100000 + 6\)\( \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = {10^5} + 6 \Leftrightarrow k = 6\).
Vậy số hạng \({u_k} = 100006\) là số hạng thứ 6 của dãy.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2}\\{{u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1(n \ge 1)}\end{array}} \right.\).
Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.
Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.
Ta có \({u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;\)\({u_3} = {10^2} + 3;\)\({u_{100}} = {10^{99}} + 100\)
Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.
\( \Rightarrow \) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
\({S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \ldots + {u_{100}}\)\( = {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3\)\( + \ldots + {10^{99}} + 100\)
\( \Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} + \ldots + {{10}^{99}}} \right)\)\( + (1 + 2 + 3 + \ldots + 100)\)
\( \Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}\)\( = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\)
Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là \({S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\).
