Bài tập ôn tập chương 3

Ta có ${u_3} = {S_3} - {S_2} = 9$ $\Rightarrow {u_1}{q^2} = 9 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{9}{{{q^2}}}$

Vì ${S_2} = 4$ nên ${u_1} + {u_1}q = 4.$ Do đó $\dfrac{9}{{{q^2}}} + \dfrac{9}{q} = 4$

$\Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0$ $\Leftrightarrow q = 3$ hoặc $q =  - \dfrac{3}{4}.$

+ Với $q = 3$ thì ${u_1} = 1,$ ${u_6} = {u_1}{q^5} = 243.$

Suy ra ${S_5} = \dfrac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \dfrac{{1 - 243}}{{1 - 3}} = 121.$

+ Với $q =  - \dfrac{3}{4}$ thì ${u_1} = 16,$ ${u_6} =  - \dfrac{{243}}{{64}}.$

Suy ra ${S_5} = \dfrac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \dfrac{{181}}{{16}}.$

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Khi đó

$4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1}$ $= 4{u_1}{q^2} + 2{u_1}q - 15{u_1}$ $= 32{q^2} + 16q - 120$ $= 2\left( {16{q^2} + 8q + 1} \right) - 122$ $= 2{\left( {4q + 1} \right)^2} - 122\ge -122, \forall q$

Dấu bằng xảy ra khi $4q + 1 = 0$ $\Leftrightarrow q =  - \dfrac{1}{4}.$

Suy ra: ${S_{10}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 8.\dfrac{{1 - {{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}} = \dfrac{{2\left( {{4^{10}} - 1} \right)}}{{{{5.4}^8}}}$

Ta có $- \dfrac{d}{a} =  - \dfrac{{ - 54}}{2} = 27.$

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là $x = \sqrt[3]{{27}} = 3$ phải là nghiệm của phương trình đã cho.

$\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 = 0$ $\Leftrightarrow m = 2;m =  - 4.$

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ nên $m = 2$ và $m =  - 4$ là các giá trị thỏa mãn

Suy ra $P = {2^3} + {\left( { - 4} \right)^3} =  - 56.$

+ Ba số $x + 6y,5x + 2y,8x + y$ lập thành cấp số cộng nên $\left( {x + 6y} \right) + \left( {8x + y} \right) = 2\left( {5x + 2y} \right) \Leftrightarrow x = 3y$.

+ Ba số $x + \dfrac{5}{3},y - 1,2x - 3y$ lập thành cấp số nhân nên $\left( {x + \dfrac{5}{3}} \right)\left( {2x - 3y} \right) = {\left( {y - 1} \right)^2}$.

Thay $x = 3y$ vào ta được $8{y^2} + 7y - 1 = 0 \Leftrightarrow y =  - 1$ hoặc $y = \dfrac{1}{8}$.

Với $y =  - 1$ thì $x =  - 3$; với $y = \dfrac{1}{8}$ thì $x = \dfrac{3}{8}$.

Ta có ${x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n};{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}$.

Phương án A: ${x_{n + 2}} - 5{x_{n + 1}} + 6{x_n} = 0.$

Phương án B: ${x_{n + 2}} - 6{x_{n + 1}} + 5{x_n} =  - {8.3^n} + {15.2^n} \ne 0.$

Phương án C: ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0.$

Phương án D: ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0.$

Với $n = 1$ thì ${S_1} = 1.1! = 1$ (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Ta có: $\dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} \right]$

Suy ra: $\dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

 $= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]$ $=\dfrac{{{n^2} + 3n}}{{4{n^2} + 12n + 8}} = \dfrac{{2{n^2} + 6n}}{{8{n^2} + 24n + 16}}$.

Đối chiếu với hệ số, ta được: $a = 2;b = 6;c = 8;d = 24$.

Suy ra: $T = \left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) = 300$.

Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.

Ta có ${a_1} = 1;{a_2} = 2;{a_3} = 0;{a_4} = 1;{a_2} = 2;{a_6} = 0;...$

Từ đây chúng ta có thể dự đoán ${a_{n + 3}} = {a_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:

Với $n = 1$ thì ${a_1} = 1$ và ${a_4} = 1$. Vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Giả sử đẳng thức đúng với $n = k \ge 1$, nghĩa là ${a_{k + 3}} = {a_k}$.

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là chứng minh ${a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}$.

Thật vậy, ta có ${a_{k + 4}} =  - \dfrac{3}{2}a_{k + 3}^2 + \dfrac{5}{2}{a_{k + 3}} + 1$ (theo hệ thức truy hồi).

Theo giả thiết quy nạp thì ${a_{k + 3}} = {a_k}$ nên ${a_{k + 4}} =  - \dfrac{3}{2}a_k^2 + \dfrac{5}{2}{a_k} + 1 = {a_{k + 1}}$.

Vậy đẳng thức đúng với $n = k + 1$. Suy ra ${a_{n + 3}} = {a_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Từ kết quả phần trên, ta có : nếu $m \equiv p\left( {\mod 3} \right)$ thì ${a_m} = {a_p}$.

Ta có $2018 \equiv 2\left( {\mod 3} \right)$ nên ${a_{2018}} = a_2=2$.

Bước 1: Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số thỏa mãn: ${u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)$.

Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số thỏa mãn: ${u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)$.

Bước 2: Tìm số hạng tổng quát.

Khi đó, ${u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + n + 1 = 10\left( {{v_n} + n} \right) - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 10{v_n}$

$=>$$\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${v_1} = {u_1} - 1 = 1$ và công bội $q = 10$.

$\Rightarrow {v_n} = {1.10^{n - 1}} = {10^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {10^{n - 1}} + n$

Số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {10^{n - 1}} + n$.

Ta có ${u_k} = 100006 \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100006$

$\Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100000 + 6$$\Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = {10^5} + 6 \Leftrightarrow k = 6$.

Vậy số hạng ${u_k} = 100006$ là số hạng thứ 6 của dãy.

Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.

Ta có ${u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;$${u_3} = {10^2} + 3;$${u_{100}} = {10^{99}} + 100$

Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

$\Rightarrow$ Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

${S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_{100}}$$= {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3$$+  \ldots  + {10^{99}} + 100$

$\Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^{99}}} \right)$$+ (1 + 2 + 3 +  \ldots  + 100)$

$\Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}$$= \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050$

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là ${S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050$.