Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi ${a_1} = 1;{a_{n + 1}} = - \dfrac{3}{2}{a_n}^2 + \dfrac{5}{2}{a_n} + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Số hạng thứ $2018$ của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có giá trị bằng bao nhiêu?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có ${a_1} = 1;{a_2} = 2;{a_3} = 0;{a_4} = 1;{a_2} = 2;{a_6} = 0;...$
Từ đây chúng ta có thể dự đoán ${a_{n + 3}} = {a_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với \(n = 1\) thì ${a_1} = 1$ và ${a_4} = 1$. Vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\), nghĩa là ${a_{k + 3}} = {a_k}$.
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là chứng minh ${a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}$.
Thật vậy, ta có \({a_{k + 4}} = - \dfrac{3}{2}a_{k + 3}^2 + \dfrac{5}{2}{a_{k + 3}} + 1\) (theo hệ thức truy hồi).
Theo giả thiết quy nạp thì ${a_{k + 3}} = {a_k}$ nên \({a_{k + 4}} = - \dfrac{3}{2}a_k^2 + \dfrac{5}{2}{a_k} + 1 = {a_{k + 1}}\).
Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Suy ra ${a_{n + 3}} = {a_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
Từ kết quả phần trên, ta có : nếu \(m \equiv p\left( {\mod 3} \right)\) thì ${a_m} = {a_p}$.
Ta có \(2018 \equiv 2\left( {\mod 3} \right)\) nên ${a_{2018}} = a_2=2$.
Hướng dẫn giải:
- Tính các giá trị \({a_1},{a_2},...\) và dự đoán quy luật của dãy \({a_1},{a_2},...\) vừa tính xong.
- Chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp toán học.
