Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.
Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.
Ta có \({u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;\)\({u_3} = {10^2} + 3;\)\({u_{100}} = {10^{99}} + 100\)
Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.
\( \Rightarrow \) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:
\({S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \ldots + {u_{100}}\)\( = {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3\)\( + \ldots + {10^{99}} + 100\)
\( \Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} + \ldots + {{10}^{99}}} \right)\)\( + (1 + 2 + 3 + \ldots + 100)\)
\( \Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}\)\( = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\)
Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là \({S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\).
Số hạng \({u_k} = 100006\) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
Ta có \({u_k} = 100006 \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100006\)
\( \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100000 + 6\)\( \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = {10^5} + 6 \Leftrightarrow k = 6\).
Vậy số hạng \({u_k} = 100006\) là số hạng thứ 6 của dãy.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Bước 1: Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số thỏa mãn: \({u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)\).
Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số thỏa mãn: \({u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)\).
Bước 2: Tìm số hạng tổng quát.
Khi đó, \({u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + n + 1 = 10\left( {{v_n} + n} \right) - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 10{v_n}\)
$=>$\(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - 1 = 1\) và công bội \(q = 10\).
\( \Rightarrow {v_n} = {1.10^{n - 1}} = {10^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {10^{n - 1}} + n\)
Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {10^{n - 1}} + n\).
Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ có ${x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\forall n \in \mathbb{N}^*$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Ta có ${x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}}$nên ${x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{(n + 1) - 1}}{{(n + 1) + 1}}} \right)^{2(n + 1) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}.$
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}}$. Số $\dfrac{8}{{15}}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ ?
Giải phương trình $\dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}}$ ta được:
\(\dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15\left( {n + 1} \right) = 8\left( {2n + 1} \right) \Leftrightarrow n = 7\)
Vậy $n=7$.
Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?
Dãy số $({a_n})$ có $a_1=0$, $a_2=-1$ nên không tăng
Với dãy $({b_n})$, ta có ${b_n} = {5^n} + 1$ (do ${( - 1)^{2n}} = 1).$
Vì ${b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n},\forall n \ge 1$nên $({b_n})$ là một dãy số tăng.
Dãy số $({c_n})$ là một dãy số giảm vì ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n},\forall n \ge 1.$
Dãy số $({d_n})$ là một dãy số giảm vì ${d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} < \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = {d_n},\forall n \ge 1.$
Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?
Dãy số $({a_n})$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì ${a_1} = 4.$
Dãy số $({b_n})$ có \(0 < {b_n} < 1,\forall n \ge 1\) nên dãy số $({b_n})$ là dãy số bị chặn nên cũng bị chặn trên.
Dãy số $({c_n})$ là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi ${c_1} = 12.$
Dãy số $({d_n})$ là dãy đan dấu và ${d_{2n}} = {( - 2)^{2n}} = {4^n}$ lớn tùy ý khi $n$ đủ lớn, còn ${d_{2n + 1}} = {( - 2)^{2n + 1}} = - {2.4^n}$ nhỏ tùy ý khi $n$ đủ lớn.
Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ xác định bởi ${a_1} = 1,{a_2} = 2$ và ${a_{n + 2}} = \sqrt 3 .{a_{n + 1}} - {a_n},\forall n \ge 1$. Tìm số nguyên dương $p$ nhỏ nhất sao cho ${a_{n + p}} = {a_n},\forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Trước hết ta kiểm tra phương án với $p$ nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của $({a_n}):$$\begin{array}{l}{a_1} = 1;{a_1} = 2;{a_3} = 2\sqrt 3 - 1;{a_4} = 4 - \sqrt 3 ;{a_5} = 2\sqrt 3 - 2;{a_6} = 2 - \sqrt 3 ;{a_7} = - 1;\\{a_8} = - 2;{a_9} = 1 - 2\sqrt 3 ;{a_{10}} = \sqrt 3 - 4.\end{array}$
Dễ dàng thấy ${a_{10}} = \sqrt 3 - 4 \ne 1 = {a_1}$ nên phương án A là sai.
- Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy $({a_n})$ ta được
$\begin{array}{l}({a_n}):{a_1} = 1;{a_1} = 2;{a_3} = 2\sqrt 3 - 1;{a_4} = 4 - \sqrt 3 ;{a_5} = 2\sqrt 3 - 2;{a_6} = 2 - \sqrt 3 ;{a_7} = - 1;\\{a_8} = - 2;{a_9} = 1 - 2\sqrt 3 ;{a_{10}} = \sqrt 3 - 4;{a_{11}} = 2 - 2\sqrt 3 ;{a_{12}} = \sqrt 3 - 2;{a_{13}} = 1;{a_{14}} = 2.\end{array}$
Từ đây ta dự đoán được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$ Vậy số nguyên dương cần tìm là $p = 12.$
Cho dãy số $({z_n})$ xác định bởi ${z_n} = \sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2\cos \dfrac{{n\pi }}{3}.$Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số $({z_n})$. Tính giá trị biểu thức $T = {M^2} + {m^2}.$
Hàm số \(y = \sin \dfrac{{n\pi }}{2}\) tuần hoàn với chu kì \(\dfrac{{2\pi }}{{\pi /2}} = 4\)
Hàm số \(y = \cos \dfrac{{n\pi }}{3}\) tuần hoàn với chu kì \(\dfrac{{2\pi }}{{\pi /3}} = 6\)
Do đó ${z_n} = \sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2\cos \dfrac{{n\pi }}{3}$ tuần hoàn với chu kì \(T = BCNN\left( {4;6} \right) = 12\) hay ta có ${z_{n + 12}} = {z_n},\forall n \ge 1.$
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là $S = \left\{ {{z_1};{z_2};...;{z_{12}}} \right\} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;2} \right\}.$
Suy ra $M = 2;m = - 3.$
Do đó $T = 13.$
Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A: Ta có \({u_{m + k}} + {u_{n - k}} = {u_1} + (m + k - 1)d + {u_1} + (n - k - 1)d\)
\( = {u_1} + (m - 1)d + {u_1} + (n - 1)d = {u_m} + {u_n}\).
Do đó A là phương án đúng.
+ Phương án B: Ta có \({u_{m + k}} + {u_{m - k}} = {u_1} + (m + k - 1)d + {u_1} + (m - k - 1)d\)
\( = 2\left[ {{u_1} + (m - 1)d} \right] = 2{u_m}\).
Do đó B là phương án đúng.
+ Phương án C: Ta có \({u_m} = {u_1} + (m - 1)d = {u_1} + (k - 1)d + (m - k)d = {u_k} + (m - k)d\)
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có \({u_{2n}} + {u_{n + 1}} = {u_1} + (2n - 1)d + {u_1} + nd = {u_1} + (3n - 1)d + {u_1} = {u_{3n}} + {u_1}\)
Vậy phương án D sai.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có công sai \(d = - 3\) và \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \({S_{100}}\) của \(100\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Đặt \(a = {u_1}\) thì \(u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = {\left( {a + d} \right)^2} + {\left( {a + 2d} \right)^2} + {\left( {a + 3d} \right)^2} = 3{a^2} - 36a + 126 = 3{\left( {a - 6} \right)^2} + 18 \ge 18\) với mọi \(a\).
Dấu bằng xảy ra khi \(a - 6 = 0 \Leftrightarrow a = 6\). Suy ra \({u_1} = 6\).
Ta có \({S_{100}} = \dfrac{{100.\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]}}{2} = - 14250\)
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là \( - 8,\;28,\; - 80.\)
Ba số này không lập thành cấp số nhân vì \(\dfrac{{28}}{{ - 8}} \ne \dfrac{{ - 80}}{{28}}.\)
- Phương án B: Ta có \({b_{n + 1}} = \dfrac{{4035}}{{2018}}{b_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{b_n}} \right)\) là cấp số nhân
- Phương án C: Ta có \(\dfrac{{{c_{n + 1}}}}{{{c_n}}} = \dfrac{{25\left( {n + 1} \right)}}{n}\) (phụ thuộc vào n, không phải là không đổi)
Do đó \(({c_n})\) không phải là cấp số nhân.
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) là \(3,9,81\). Nhận thấy ba số này không lập thành cấp số nhân nên dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) không là cấp số nhân.
Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện: Ba số \(\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
Theo giả thiết, ta có: \(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = \dfrac{2}{{y + z}} \Rightarrow \left( {y + z} \right)\left( {2x + y + z} \right) = 2\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) \Leftrightarrow {y^2} + {z^2} = 2{x^2}\).
Suy ra \({y^2},{x^2},{z^2}\) hoặc \({z^2},{x^2},{y^2}\) lập thành một cấp số cộng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({S_n} = 3{n^2} - 2n\). Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng đó.
Ta có \({u_1} = {S_1} = 1\) và \({u_1} + {u_2} = {S_2} = 8\). Suy ra \({u_2} = 7\)
Vậy \(d = {u_2} - {u_1} = 6\).
Cho cấp số cộng \(1,7,13,...,x\) thỏa mãn điều kiện \(1 + 7 + 13 + ... + x = 280\). Tính giá trị của \(x\).
Cấp số cộng \(1,7,13, \ldots ,x\) có số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 6\) nên:
\({S_n} = 1 + 7 + ... + x = \dfrac{{n\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right).6} \right]}}{2} = 280\) \( \Leftrightarrow 3{n^2} - 2n = 280 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\left( {t/m} \right)\\n = - \dfrac{{28}}{3}\left( l \right)\end{array} \right.\)
Vậy \(x = {u_{10}} = {u_1} + 9d = 1 + 9.6 = 55\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} - 10{x^2} + m = 0\) có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Ta có:
- Phương trình đã cho có \(4\) nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng thì \({9.10^2} = 100.1.m \Leftrightarrow m = 9\).
- Với \(m = 9\) thì phương trình đã cho trở thành \({x^4} - 10{x^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1;x = \pm 3\).
Bốn số \( - 3; - 1;1;3\) lập thành một cấp số cộng nên \(m = 9\) là giá trị cần tìm.
Người ta trồng \(3003\) cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?
Giả sử trồng được \(n\) hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là \(S = 1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).
Theo giả thiết ta có \(\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 3003 \Leftrightarrow n = 77\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 3\) và \({u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{4},\forall n \ge 1.\) Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có: \({u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n}}}{4} = \dfrac{1}{4}.{u_n}\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội \(q = \dfrac{1}{4}.\)
Suy ra số hạng tổng quát là \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 3.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{n - 1}} = {3.4^{1 - n}}.\)
Cho cấp số nhân \(x,12,y,192.\) Tìm \(x\) và \(y.\)
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
\({y^2} = 12.192 = 2304\) \( \Rightarrow y = \pm 48.\)
Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
\(xy = {12^2} = 144.\)
Với \(y = 48\) thì \(x = 3;\) với \(y = - 48\) thì \(x = - 3.\)
Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{9}\) số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.
Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.
+ Phương án \(A:\) Các góc \({5^0},{15^0},{45^0},{225^0}\) không lập thành cấp số nhân vì
\({15^0} = {3.5^0};\) \({45^0} = {3.15^0};\) \({225^0} \ne {3.45^0}.\)
+ Phương án \(B:\) Các góc \({9^0},{27^0},{81^0},{243^0}\) lập thành cấp số nhân và \({9^0} + {27^0} + {81^0} + {243^0} = {360^0}.\) Hơn nữa, \({9^0} = \dfrac{1}{9}{81^0}\) nên \(B\) là phương án đúng.
+ Phương án \(C\) và \(D:\) Kiểm tra như phương án \(A.\)
