Câu hỏi:
2 năm trước
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({S_2} = 4\) và \({S_3} = 13.\) Tìm \({S_5}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \({u_3} = {S_3} - {S_2} = 9\) \( \Rightarrow {u_1}{q^2} = 9 \Rightarrow {u_1} = \dfrac{9}{{{q^2}}}\)
Vì \({S_2} = 4\) nên \({u_1} + {u_1}q = 4.\) Do đó \(\dfrac{9}{{{q^2}}} + \dfrac{9}{q} = 4\)
\( \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0\) \( \Leftrightarrow q = 3\) hoặc \(q = - \dfrac{3}{4}.\)
+ Với \(q = 3\) thì \({u_1} = 1,\) \({u_6} = {u_1}{q^5} = 243.\)
Suy ra \({S_5} = \dfrac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \dfrac{{1 - 243}}{{1 - 3}} = 121.\)
+ Với \(q = - \dfrac{3}{4}\) thì \({u_1} = 16,\) \({u_6} = - \dfrac{{243}}{{64}}.\)
Suy ra \({S_5} = \dfrac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \dfrac{{181}}{{16}}.\)
Hướng dẫn giải:
- Xét hiệu \({u_3} = {S_3} - {S_2}\) và dùng công thức \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\) để làm xuất hiện 1 phương trình ẩn \({u_1},q\)
- Sử dụng giả thiết \({S_2} = {u_1} + {u_2}\) để làm xuất hiện một phương trình nữa ẩn \({u_1},q\)
- Giải hệ phương trình tìm \({u_1},q\) và tính \({S_5}\) theo công thức \({S_n} = \dfrac{{{u_1} - {u_{n + 1}}}}{{1 - q}}\)
