Một học sinh chứng minh mệnh đề ${\rm{''}}{8^n} + 1$ chia hết cho ${\rm{7, }}\forall n \in {\mathbb{N}^*}''$ \(\left( * \right)\) như sau:

\( \bullet \) Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), tức là ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7.\)

\( \bullet \) Ta có: ${8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7$, kết hợp với giả thiết ${8^k} + 1$ chia hết cho \(7\) nên suy ra được ${8^{k + 1}} + 1$ chia hết cho \(7.\) Vậy đẳng thức \(\left( * \right)\) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Với mọi số tự nhiên $n$, tổng \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho:

Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), hãy rút gọn biểu thức \(S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n\left( {3n + 1} \right)\).

Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), đặt \({T_n} = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2}\) và \({M_n} = {2^2} + {4^2} + {6^2} + ... + {\left( {2n} \right)^2}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Với mỗi số nguyên dương \(n\), đặt \(S = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Tìm số nguyên dương \(p\) nhỏ nhất để \({2^n} > 2n + 1\) với mọi số nguyên \(n \ge p\).

Đặt \({S_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}\),với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).Mệnh đề nào dưới đây đúng

Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \({2^{n + 1}} > {n^2} + 3n.\)