Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), hãy rút gọn biểu thức \(S = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n\left( {3n + 1} \right)\).

Để chọn được \(S\) đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:

Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của \(n\).

Với \(n = 1\) thì \(S = 1.4 = 4\) (loại ngay được phương án B và C); với \(n = 2\) thì \(S = 1.4 + 2.7 = 18\) (loại được phương án D).

Cách 2: Bằng cách tính \(S\) trong các trường hợp \(n = 1,S = 4;{\rm{ }}n = 2,S = 18;{\rm{ }}n = 3,S = 48\) ta dự đoán được công thức \(S = n{\left( {n + 1} \right)^2}\).

Cách 3: Ta tính \(S\) dựa vào các tổng đã biết kết quả như \(1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\) và \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\). Ta có: \(S = 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + \left( {1 + 2 + ... + n} \right) = n{\left( {n + 1} \right)^2}\).