Với mọi số tự nhiên $n$, tổng ${S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3$ chia hết cho:

Với n = 0 ta có: ${S_0} = 3$ chia hết cho 3, ta chứng minh ${S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là ${S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3$ chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là ${S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3$ cũng chia hết cho 3.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12\\ = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\end{array}$

Có: ${S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3$ chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, $3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3$, do đó ${S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3$

Vậy ${S_n}\,\, \vdots \,\,3$ với mọi số tự nhiên n.