Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho ${2^{n + 1}} > {n^2} + 3n.$

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp $n = 1,2,3,4,$ ta dự đoán được ${2^{n + 1}} > {n^2} + 3n,$ với $n \ge 4.$ Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:

-Bước 1: Với $n = 4$ thì vế trái bằng ${2^{4 + 1}} = {2^5} = 32,$ còn vế phải bằng ${4^2} + 3.4 = 28.$

Do $32 > 28$ nên bất đẳng thức đúng với $n = 4.$

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với $n = k \ge 4,$ nghĩa là ${2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.$

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với $n = k + 1,$ tức là phải chứng minh ${2^{\left( {k + 1} \right) + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 3\left( {k + 1} \right)$ hay ${2^{k + 2}} > {k^2} + 5k + 4.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có ${2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.$

Suy ra ${2.2^{k + 1}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right)$ hay ${2^{k + 2}} > 2{k^2} + 6k$

Mặt khác $2{k^2} + 6k - \left( {{k^2} + 5k + 4} \right) = {k^2} + k - 4 \ge {4^2} + 4 - 4 = 16$ với mọi $k \ge 4.$

Do đó ${2^{k + 2}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right) > {k^2} + 5k + 4$ hay bất đẳng thức đúng với $n = k + 1.$

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy phương án đúng là D.