Tìm tất cả các số nguyên dương \(n\) sao cho \({2^{n + 1}} > {n^2} + 3n.\)

Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp \(n = 1,2,3,4,\) ta dự đoán được \({2^{n + 1}} > {n^2} + 3n,\) với \(n \ge 4.\) Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:

-Bước 1: Với \(n = 4\) thì vế trái bằng \({2^{4 + 1}} = {2^5} = 32,\) còn vế phải bằng \({4^2} + 3.4 = 28.\)

Do \(32 > 28\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = 4.\)

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k \ge 4,\) nghĩa là \({2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.\)

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1,\) tức là phải chứng minh \({2^{\left( {k + 1} \right) + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 3\left( {k + 1} \right)\) hay \({2^{k + 2}} > {k^2} + 5k + 4.\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có \({2^{k + 1}} > {k^2} + 3k.\)

Suy ra \({2.2^{k + 1}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right)\) hay \({2^{k + 2}} > 2{k^2} + 6k\)

Mặt khác \(2{k^2} + 6k - \left( {{k^2} + 5k + 4} \right) = {k^2} + k - 4 \ge {4^2} + 4 - 4 = 16\) với mọi \(k \ge 4.\)

Do đó \({2^{k + 2}} > 2\left( {{k^2} + 3k} \right) > {k^2} + 5k + 4\) hay bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1.\)

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.

Vậy phương án đúng là D.