Đặt \({S_n} = \dfrac{1}{{1.3}} + \dfrac{1}{{3.5}} + ... + \dfrac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}\),với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).Mệnh đề nào dưới đây đúng

Cách 1: Rút gọn biểu thức \({S_n}\) dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.

Với mọi số nguyên dương $k$, ta có \(\dfrac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} \\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{{(2k - 1)(2k + 1)}} \\=\dfrac{1}{2}.\dfrac{(2k+1)-(2k-1)}{{(2k - 1)(2k + 1)}} =\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{2k - 1}} - \dfrac{1}{{2k + 1}}} \right)\).

\(\dfrac{1}{1.3}=\dfrac{1}{2}\left( 1 - \dfrac{1}{3}\right)\)

\(\dfrac{1}{{3.5}} =\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \right)\)

Cứ như thế, ta có: \(\dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}} \right) \)

Do đó:\({S_n} = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{2n - 1}} - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{{2n + 1}}} \right) = \dfrac{n}{{2n + 1}}\).

Vậy phương án đúng là phương án C.