Câu hỏi:
2 năm trước
Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\), ta có: \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right) = \dfrac{{an + 2}}{{bn }}\), trong đó \(a,b\) là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: \(1 - \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{{k - 1}}{k}.\dfrac{{k + 1}}{k}\). Suy ra \(\left( {1 - \dfrac{1}{4}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{9}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{n^2}}}} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{3}...\dfrac{{n - 1}}{n}.\dfrac{{n + 1}}{{n}} = \dfrac{{n + 1}}{{2n}} = \dfrac{{2n + 2}}{{4n}}\).
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: \(a = 2,b = 4\).
Suy ra \(P = {a^2} + {b^2} = 20\).
Hướng dẫn giải:
- Xét thừa số đại diện suy ra các thừa số trong tích.
- Nhân các thừa số với nhau được kết quả rút gọn.
