Gọi T là phép thử "Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất". Gọi E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Tính P(E).
Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất ta có
\(\Omega = \left\{ {\left( {x;y} \right)\left| {1 \le x \le 6;1 \le y \le 6} \right.} \right\}\). Do đó \(\left| \Omega \right| = 6.6 = 36\)
E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Khi đó:
$E =$ $ \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {1;6} \right),} \right.\left. {\left( {2;1} \right),\left( {3;1} \right),\left( {4;1} \right),\left( {5;1} \right),\left( {6;1} \right)} \right\}$
Nên \(\left| E \right| = 10\)
Vậy \(P(E) = \dfrac{{\left| E \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$. Xác suất để số đó chia hết cho $5$ là:
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$ ta có \(\left| \Omega \right| = 1000\)
Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho $5.$
Khi đó: \(A = \left\{ {5k\left| {0 \le 5k < 1000} \right.} \right\} = \left\{ {5k\left| {0 \le k < 200} \right.} \right\}\)
Nên \(\left| A \right| = 200\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{200}}{{1000}} = \dfrac{1}{5}\)
Một hộp đựng $11$ thẻ được đánh số \(1,2,3, \ldots ,11\). Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ và tính tổng các số ghi trên ba thẻ đó. Tính xác suất để tổng nhận được bằng $12$.
Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ trong một hộp đựng $11$ thẻ ta có \(\left| \Omega \right| = C_{11}^3 = 165\)
Gọi $A$ là biến cố rút được $3$ thẻ và tổng các số ghi trên $3$ thẻ bằng $12$.
Vì \(12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7\) \( = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5\)
Nên \(\left| A \right| = 7\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{7}{{165}}\)
Có $8$ quả cân lần lượt là $1kg, 2kg, 3kg, 4kg, 5kg, 6kg, 7kg, 8kg$. Chọn ngẫu nhiên $3$ quả cân trong $8$ quả cân đó. Tính xác suất để trọng lượng $3$ quả cân được chọn không vượt quá $9kg$.
Chọn ngẫu nhiên $3$ quả cân trong $8$ quả cân ta có \(\left| \Omega \right| = C_8^3 = 56\)
Gọi $A$ là biến cố chọn được $3$ quả cân và tổng trọng lượng $3$ quả cân không vượt quá $9 kg$.
Vì
\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 = 6 < 9\\1 + 2 + 4 = 7 < 9\\1 + 2 + 5 = 8 < 9\\1 + 2 + 6 = 9\\1 + 3 + 4 = 8 < 9\\1 + 3 + 5 = 9\\2 + 3 + 4 = 9\end{array}\)
Nên \(\left| A \right| = 7\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{7}{{56}} = \dfrac{1}{8}\)
Kết quả \((b;c)\) của việc gieo con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần trong đó \(b\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, \(c\) là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai:\({x^2} + bx + c = 0\). Tính xác suất để: phương trình có nghiệm.
Gieo con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần ta có
\(\Omega = \left\{ {\left( {b;c} \right)\left| {1 \le b \le 6;1 \le c \le 6} \right.} \right\}\). Do đó, \(\left| \Omega \right| = 6.6 = 36\)
Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm khi \(\Delta = {b^2} - 4c \ge 0\)
Đặt\(A = \) \(\left\{ {\left( {b;c} \right)\left| {1 \le b \le 6;1 \le c \le 6} \right.;{b^2} - 4c \ge 0} \right\}\), ta có:
\(A = \left\{ \begin{array}{l}\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\\ \left( {6;6} \right),\left( {5;1} \right),\left( {5;2} \right),\left( {5;3} \right),\left( {5;4} \right),\\ \left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\\ \left( {4;4} \right),\left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {2;1} \right)\end{array} \right\}\)
Nên \(\left| A \right| = 19\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{19}}{{36}}\)
Gọi $S$ là tập hợp của tất cả các số tự nhiên gồm $3$ chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
$S$ là tập hợp của tất cả các số tự nhiên gồm $3$ chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.
Suy ra \(\left| S \right| = 7.6.5 = 210\)
Chọn ngẫu nhiên một số trong tập $S$ ta có \(\left| \Omega \right| = \left| S \right| = 210\)
Gọi $A$ là biến cố chọn được số chẵn. Ta có: \(\left| A \right| = 3.6.5 = 90\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{90}}{{210}} = \dfrac{3}{7}\)
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $3$ nữ ngồi vào $6$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để nam nữ ngồi xen kẽ nhau là:
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = 6! = 720\)
Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau.
Đánh số ghế từ \(1\) đến \(6\).
TH1: Xếp nam vào các ghế \(1,3,5\) có \(3!\) cách, xếp nữ vào các ghế \(2,4,6\) có \(3!\) cách nên có \(3!.3!\) cách.
TH2: Xếp nam vào các ghế \(2,4,6\) và xếp nữ vào các ghế \(1,3,5\) cũng có \(3!.3!\) cách.
Khi đó \(\left| A \right| = 2.3!.3! = 72\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{72}}{{720}} = \dfrac{1}{{10}}\)
Xếp ngẫu nhiên $3$ nam và $5$ nữ ngồi vào $8$ ghế xếp thành hàng ngang. Xác suất để $3$ nam ngồi cạnh nhau.
Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của $8$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = 8! = 40320\)
Gọi $A$ là biến cố $3$ nam ngồi cạnh nhau.
Coi \(3\) nam là một người và thêm \(5\) nữ là \(6\) người nên sẽ có \(6!\) cách, hoán đổi vị trí của \(3\) nam ta có \(3!\) cách nên \(\left| A \right| = 3!.6! = 4320\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{4320}}{{40320}} = \dfrac{3}{{28}}\)
Một chiếc hộp có $9$ thẻ đánh số từ $1$ đến $9$. Rút ngẫu nhiên $2$ thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Xác suất để kết quả nhận được là một số lẻ.
Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega \right| = C_9^2 = 36\)
Gọi $A$ là biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ là lẻ”.
Vì tích của hai số lẻ là một số lẻ nên hai thẻ rút ra phải là lẻ, mà có $5$ thẻ lẻ nên \(\left| A \right| = C_5^2 = 10\)
Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)
Từ một hộp chứa $6$ quả cầu trắng và $4$ quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc $4$ quả. Xác suất để lấy ra được $4$ quả cùng màu là:
Không gian mẫu \(\Omega \) là tổ hợp chập $4$ của $10$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = C_{10}^4 = 210\)
Gọi $A$ là biến cố chọn được $4$ quả cùng màu.
$4$ quả cùng màu có thể là $4$ quả cùng màu trắng hoặc $4$ quả cùng màu đen.
Ta có: \(\left| A \right| = C_6^4 + C_4^4 = 15 + 1 = 16\)
Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{16}}{{210}} = \dfrac{8}{{105}}\)
Từ một hộp chứa $6$ quả cầu trắng và $4$ quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc $4$ quả. Xác suất để lấy ra được ít nhất một quả màu đen là:
Không gian mẫu \(\Omega \) là tổ hợp chập $4$ của $10$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega \right| = C_{10}^4 = 210\)
Gọi $B$ là biến cố chọn được $4$ quả màu trắng. Ta có: \(\left| B \right| = C_6^4 = 15\)
Suy ra \(P(B) = \dfrac{{\left| B \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{15}}{{210}} = \dfrac{1}{{14}}\)
Ta có \(\overline B\) là biến cố chọn được ít nhất một quả màu đen nên \(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{{14}} = \dfrac{{13}}{{14}}\)
Một hộp đựng $9$ thẻ được đánh số \(1,2,3, \ldots ,9\). Rút ngẫu nhiên $5$ thẻ. Tính xác suất để các thẻ ghi số $1, 2, 3 $ được rút.
Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega \right| = C_9^5 = 126\)
Gọi $A$ là biến cố “Trong $5$ thẻ được rút có các thẻ ghi số $1, 2, 3$”. Ta có: \(\left| A \right| = C_6^2 = 15\)
Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{15}}{{126}} = \dfrac{5}{{42}}\)
Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa $4$ viên bi đỏ và $3$ viên bi trắng, hộp thứ hai chứa $2 $ viên bi đỏ và $4$ viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi, tính xác suất để $2$ viên lấy ra cùng màu.
Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega \right| = C_7^1.C_6^1 = 42\)
Gọi $A$ là biến cố “lấy được hai viên bi cùng màu”.
Trường hợp 1: Lấy được hai viên bi màu đỏ, ta có \(C_4^1.C_2^1 = 8\)
Trường hợp 2: Lấy được hai viên bi màu trắng, ta có \(C_3^1.C_4^1 = 12\)
Ta có: \(\left| A \right| = 8 + 12 = 20\)
Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{20}}{{42}} = \dfrac{{10}}{{21}}\)
Một hộp đựng $8$ bi đỏ và $4$ bi xanh. Từ hộp trên lấy lần lượt ngẫu nhiên không hoàn lại từng viên bi đến viên bi thứ ba thì dừng. Xác suất để lấy được hai bi đỏ và một bi xanh là:
Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega \right| = 12.11.10 = 1320\)
Gọi $A$ là biến cố “lấy được hai bi đỏ và một bi xanh”.
TH1: Thứ tự bi lấy ra là Đ-Đ-X có $8.7.4=224$ cách.
TH2: Thứ tự bi lấy ra là Đ-X-Đ có $8.4.7=224$ cách.
TH3: Thứ tự bi lấy ra là X-Đ-Đ có $8.4.7=224$ cách.
Do đó \(\left| A \right| = 3.8.7.4 = 672\) cách.
Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{ {\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{672}}{{1320}} = \dfrac{{28}}{{55}}\)
Mỗi đề thi có $5$ câu được chọn ra từ $100$ câu có sẵn. $1$ học sinh học thuộc $80$ câu. Tính xác suất để học sinh rút ngẫu nhiên ra $1$ đề thi có $4$ câu đã học thuộc.
Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega \right| = C_{100}^5\)
Gọi A là biến cố “rút ngẫu nhiên ra $1$ đề thi có $4$ câu đã học thuộc”. Ta có: \(\left| A \right| = C_{80}^4.C_{20}^1\)
Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{C_{80}^4.C_{20}^1}}{{C_{100}^5}} = \dfrac{{1581580.20}}{{75287520}} = 0,42\)
Giả sử $A$ và $B$ là hai biến cố cùng liên quan đến phép thử $T$. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
1) Nếu $A $ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
2) Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
3) \(P(AB) = P(A).P(B)\).
Dựa vào lý thuyết biến cố đối và biến cố độc lập ta có:
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .
- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Vậy chỉ có $2$ đúng.
Có hai hộp đựng bi. Hộp I có 9 viên bi được đánh số \(1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9\) . Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là \(\dfrac{3}{{10}}\). Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:
Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “
Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “
=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \dfrac{4}{9}.\)
Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “\(P\left( B \right) = \dfrac{3}{{10}}.\)
Ta thấy biến cố A, B là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( X \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{2}{{15}}.\)
Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là $0,6$. Xác suất để trong ba lần bắn độc lập người đó bắn trúng đích đúng một lần.
Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,6\)
Suy ra \(\overline A\) là biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có \(P(\overline A) = 0,4\)
Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:
• \(B\): “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có \(P(B) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096\)
• C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có
\(P(C) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096\)
• D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:
\(P(D) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096\)
Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:
\(P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288\)
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là $0,4$. Xác suất để trong $5$ lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\)
Suy ra \(\bar A\) là biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có \(P(\bar A) = 0,6\)
Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố
B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có \(P(B) = 0,{6^5} = 0,07776\)
Khi đó ta có \(\overline B\) “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:
\(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) \) \(= 1 - 0,07776 = 0,92224\)
Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người được sút một quả với xác suất bàn tương ứng là $0,8$ và $0,7$. Tính xác suất để chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
Gọi $A$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có \(P\left( A \right) = 0,8\) và \(P(\overline A ) = 0,2\)
Gọi $B$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có \(P\left( B \right) = 0,7\) và \(P(\overline B) = 0,3\)
Ta xét hai biến cố xung khắc sau:
\(A\overline B\) “Chỉ có cầu thủ thứ nhất làm bàn”.
Ta có:
\(P\left( {A\overline B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B} \right) \) \(= 0,8.0,3 = 0,24\)
\(B\bar A\) “ Chỉ có cầu thủ thứ hai làm bàn” .
Ta có:
$P\left( {B\overline A} \right) = P\left( B \right).P\left( {\overline A} \right) $ $= 0,7.0,2 = 0,14$
Gọi $C$ là biến cố chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
Ta có \(P(C) = 0,24 + 0,14 = 0,38\)
