Một ngân hàng đề thi có 20 hạng mục, mỗi hạng mục có 10 câu hỏi. Đề thi có 20 câu hỏi tương ứng 20 hạng mục sao cho mỗi hạng mục có đúng 1 câu hỏi. Máy tính chọn từ ngân hàng ngẫu nhiên 2 đề thi thỏa mãn tiêu chí trên. Tìm xác suất để 2 đề thi có ít nhất 3 câu hỏi trùng nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn.)
Giả sử đề 1 đã được máy tính chọn ra. Ta xét xác suất để đề 2 giống đề 1
Ở mỗi hạng mục, xác suất để câu hỏi của 2 đề giống nhau và khác nhau lần lượt là 0,1 và 0,9.
Xác suất của biến cố đối:
Xác suất để 2 đề không trùng nhau câu hỏi nào là \(0,{9^{20}}\)
Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 1 câu hỏi là \(C_{20}^1.0,1.0,{9^{19}}\)
Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 2 câu hỏi là \(C_{20}^2.0,{1^2}.0,{9^{18}}\)
Xác suất để 2 đề trùng nhau từ 3 câu hỏi trở lên là \(1 - \left( {0,{9^{20}} + C_{20}^1.0,1.0,{9^{19}} + C_{20}^2.0,{1^2}.0,{9^{18}}} \right)\)\(= 0,323\)
Trong trận đấu bóng đá giữa 2 đội Real Madrid và Barcelona, trọng tài cho đội Barcelona được hưởng một quả Penalty. Cầu thủ sút phạt ngẫu nhiên vào 1 trong bốn vị trí 1, 2, 3, 4 và thủ môn bay người cản phá ngẫu nhiên đến 1 trong 4 vị trí 1,2,3,4 với xác suất như nhau. Biết nếu cầu thủ sút và thủ môn bay người cùng vào vị trí 1 hoặc 2 thì thủ môn cản phá được cú sút đó, nếu cùng vào vị trí 3 hoặc 4 thì xác suất cản phá thành công là \(50\% \). Tính xác suất của biến cố "cú sút không vào lưới"?
\(\dfrac{3}{{16}}\).
\(\dfrac{3}{{16}}\).
\(\dfrac{3}{{16}}\).
Cách 1.
Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 4.4 = 16\)
Gọi biến cố \(A = \) "Cú sút đó không vào lưới". Khi đó biến cố \(\bar A = \) "Cú sút đó vào lưới". Số phần tử của \(n(\bar A)\) là
Trường hợp 1. Cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.
Trường hợp 2. Cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.
Trường hợp 3. Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.
Trường hợp 4 . Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.
Trường hợp 5 . Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3
Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra. Trường hợp 6 . Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4
Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra. Khi đó \(n(\bar A) = 4.3 + 2.1 = 14\). Xác suất xảy ra biến cố \(\bar A\) là \(p(\bar A) = \dfrac{{4.3}}{{16}} + \dfrac{{2.1}}{{16}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{13}}{{16}}\).
Vậy \(p(A) = 1 - p(\bar A) = 1 - \dfrac{{13}}{{16}} = \dfrac{3}{{16}}\).
Cách 2.
Gọi \({A_i}\) là biến cố "cầu thủ sút phạt vào vị trí \(i\) ";
\({B_i}\) là biến cố "thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ \(i\) ".
Và \(C\) là biến cố "Cú sút phạt không vào lưới". Dễ thấy, \(P\left( {{A_i}} \right) = P\left( {{B_i}} \right) = \dfrac{1}{4}\).
Ta có \(P(C) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right)P\left( {{B_2}} \right) + \dfrac{1}{2}P\left( {{A_3}} \right)P\left( {{B_3}} \right) + \dfrac{1}{2}P\left( {{A_4}} \right)P\left( {{B_4}} \right)\) \( = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} = \dfrac{3}{{16}}.\)
Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng k câu hỏi của học sinh Á đạt giá trị lớn nhất, khi đó giá trị k bằng
Gọi A là biến cố: “Học sinh A làm đúng k câu”
Xác suất làm đúng 1 câu là \(\dfrac{1}{4}\), xác suất làm sai 1 câu là \(\dfrac{3}{4}\).
\( \Rightarrow {P_k}\left( A \right) = C_{50}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50 - k}} = \dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \in \left[ {0;50} \right]} \right)\).
Để \({P_k}\left( A \right)\) lớn nhất thì \(\left\{ \begin{array}{l}{P_k}\left( A \right) \ge {P_{k + 1}}\left( A \right)\\{P_k}\left( A \right) \ge {P_{k - 1}}\left( A \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}} \ge \dfrac{{C_{50}^{k + 1}}}{{{3^{k + 1}}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\\\dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}} \ge \dfrac{{C_{50}^{k - 1}}}{{{3^{k - 1}}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}} \ge \dfrac{1}{3}.\dfrac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {49 - k} \right)!}}\\\dfrac{1}{3}.\dfrac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}} \ge \dfrac{{50!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {51 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{50 - k}} \ge \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)}}\\\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{k} \ge \dfrac{1}{{51 - k}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3k + 3 \ge 50 - k\\51 - k \ge 3k\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{47}}{4} \le k \le \dfrac{{51}}{4} \Leftrightarrow k = 12\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
