Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m{x^2} + 2x + 2}&{{\rm{khi}}\;\;x > 0}\\{nx + 2}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 0}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số $m,{\rm{ }}\;n$ sao cho $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = 0$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: $f\left( 0 \right) =n.0+2= 2$
+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{m{x^2} + 2x + 2 - 2}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{m{x^2} + 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {mx + 2} \right) = 2$
+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{nx + 2 - 2}}{x}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{nx}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} n = n$
Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$
$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \Leftrightarrow n = 2$.
Vậy $n=2,m\in R$.
Hướng dẫn giải:
Hàm số có đạo hàm tại $x = 0$ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$
