Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2}}}{2}}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 1}\\{ax + b}&{{\rm{khi}}\;\;x > 1}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số $a,{\rm{ }}\;b$ sao cho $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = 1$.

Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\), do đó hàm số liên tục tại \(x = 1\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {ax + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = \dfrac{1}{2}\)  \(\left( 1 \right)\)

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ax + b - \left( {a.1 + b} \right)}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{a\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 1}}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\left( {x + 1} \right)}}{2} = 1$

Hàm số có đạo hàm tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} \Leftrightarrow a = 1\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có \(a = 1,\;b =  - \dfrac{1}{2}\).