Tìm tham số thực \(b\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 2}\\{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\rm{khi}}\;\;x > 2}\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại \(x = 2.\)

Để hàm số có đạo hàm tại \(x = 2\) trước tiên hàm số phải liên tục tại \(x = 2\), tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {x^2}\) \( \Leftrightarrow  - 2 + 2b - 6 = 4 \Leftrightarrow b = 6\)

Thử lại với \(b = 6\), ta có

\( \bullet \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 6x - 10}}{{x - 2}}\,\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - x} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{10 - x}}{2} = 4;\)

\( \bullet \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 4.\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\) nên hàm số có đạo hàm tại \(x = 2.\)