Câu hỏi:
2 năm trước
Xét hai mệnh đề:
(I) $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f(x)$ liên tục tại $x_0$
(II) $f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$
Mệnh đề nào đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
(I) hiển nhiên đúng.
(II) sai.
Ví dụ: Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \left| {{x_0}} \right| = f\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại trên $R.$ Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$
$\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - x}}{x} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\end{array}$
Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 0.$
Hướng dẫn giải:
Suy luận từ công thức tính đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.
