Một hộp chứa $5$ viên bi màu trắng, $15$ viên bi màu xanh và $35$ viên bi màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $7$ viên bi. Xác suất để trong số $7$ viên bi được lấy ra có ít nhất $1$ viên bi màu đỏ là:
Gọi A là biến cố: “trong số $7$ viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ.”
- Số phần tử của không gian mẫu là: Số cách chọn \(7\) trong \(55\) viên bi. Có \(C_{55}^7\) cách.
- \(\overline A \) là biến cố: “trong số 7 viên bi được lấy ra không có viên bi màu đỏ nào”. Có 20 viên bi không phải màu đỏ.
=> \(n\left( {\overline A } \right) = C_{20}^7.\)
=> \(n\left( A \right) = \Omega - n\left( {\overline A } \right) = C_{55}^7 - C_{20}^7.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_{55}^7 - C_{20}^7}}{{C_{55}^7}}.\)
Một lô hàng gồm $1000$ sản phẩm, trong đó có $50$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó $1$ sản phẩm. Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là:
Gọi A là biến cố: “lấy được 1 sản phẩm tốt.“
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{1000}^1 = 1000.\)
Số cách lấy được sản phẩm tốt là \(n\left( A \right) = C_{950}^1 = 950.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{950}}{{1000}} = 0,95.\)
Có $2$ hộp bút chì màu. Hộp thứ nhất có $5$ bút chì màu đỏ và $7$ bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có có $8$ bút chì màu đỏ và $4$ bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có $1$ cây bút chì màu đỏ và $1$ cây bút chì màu xanh là:
Gọi A là biến cố: “có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh“
- Không gian mẫu: \(\left| \Omega \right| = C_{12}^1.C_{12}^1 = 144\).
- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là: \(C_5^1.C_4^1.\)
- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là: \(C_8^1.C_7^1.\)
=> \(n\left( A \right) = C_5^1.C_4^1 + C_8^1.C_7^1 = 76.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{76}}{{144}} = \dfrac{{19}}{{36}}.\)
Một nhóm gồm \(8\) nam và \(7\) nữ. Chọn ngẫu nhiên \(5\) bạn. Xác suất để trong \(5\) bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “
- Không gian mẫu: \(\left| \Omega \right| = C_{15}^5\).
- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: \(C_8^4.C_7^1.\)
- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: \(C_8^3.C_7^2.\)
=> \(n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \dfrac{{238}}{{429}}.\)
Một con xúc sắc cân đối và đồng chất được gieo ba lần. Gọi $P$ là xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba. Khi đó $P$ bằng:
$n(\Omega ) = 6.6.6 = 216$. Gọi $A$:”tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba”.
Ta chỉ cần chọn 1 bộ 2 số chấm ứng với hai lần gieo đầu sao cho tổng của chúng thuộc tập $\{ 1;2;3;4;5;6\} $ và số chấm lần gieo thứ ba sẽ là tổng hai lần gieo đầu.
Liệt kê ra ta có:
${\rm{\{ (1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(4;1);(4;2);(5;1)\} }}$
Do đó $n(A) = 15$. Vậy $P(A) = \dfrac{{15}}{{216}}$.
Gieo ba con súc sắc. Xác suất để được nhiều nhất hai mặt $5$ là.
Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = {6^3}$.
Gọi \(A\) là biến cố “Xuất hiện nhiều nhất \(2\) mặt \(5\)” hay \(A\): “Xuất hiện không quá hai mặt \(5\)”.
Khi đó \(\overline A \): “Xuất hiện cả ba mặt đều là \(5\)”.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = {6^3} - 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{216}}\).
Xác suất biến cố \(A\) là : \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{1}{{216}} = \dfrac{{215}}{{216}}\).
Gieo hai con xúc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng hai mặt chia hết cho \(3\) là:
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {6^2}\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng hai mặt chia hết cho \(3\)”, các trường hợp có thể xảy ra của \(A\) là:
\(A = \{ {\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;4} \right),\left( {4;2} \right),\left( {3;6} \right),\left( {6;3} \right),\left( {3;3} \right),\left( {6;6} \right),\left( {4;5} \right),\left( {5;4} \right)} \}\)
Do đó \(n\left( {{\Omega _A}} \right) = 12\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{12}}{{36}} = \dfrac{1}{3}\).
Một tiểu đội có $10$ người được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, trong đó có anh A và anh B. Xác suất để A và B đứng liền nhau bằng:
Gọi A là biến cố: “A và B đứng liền nhau.”
- Số phần tử của không gian mẫu: \(10!.\)
Coi hai anh A và B là một nhóm thì có \(2!\) cách xếp chỗ cho A và B trong nhóm.
Xếp nhóm anh A và B với \(8\) người còn lại thì có \(9!\) cách xếp.
Số cách xếp để anh A và anh B đứng liền nhau là \(n\left( A \right) = 2!.9!.\)
=> \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{2!.9!}}{{10!}} = \dfrac{1}{5}.\)
Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104
Từ một hộp chứa \(12\) quả bóng gồm \(5\) quả màu đỏ và \(7\) quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả. Xác suất để lấy được \(3\) quả màu đỏ bằng
Chọn \(3\) quả từ hộp chứa \(12\) quả bóng ta có: \(C_{12}^3\) cách chọn
Gọi \(A\) là biến cố chọn được \(3\) quả màu đó.
Khi đó \(n\left( A \right) = C_5^3\)
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}} = \dfrac{1}{{22}}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Từ một hộp chứa \(12\) quả bóng gồm \(5\) quả màu đỏ và \(7\) quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả. Xác suất để lấy được \(3\) quả màu xanh bằng
+ Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3\).
+ Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu xanh”
\( \Rightarrow \) Số phần tử thuận lợi của A là : \(n\left( A \right) = C_7^3\).
+ Xác suất: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_7^3}}{{C_{12}^3}} = \dfrac{7}{{44}}\).
Một công ty nhận được 50 hồ sơ xin việc của 50 người khác nhau muốn xỉn việc vào công ty, trong đó có 20 người biết tiếng Anh, 17 người biết tiếng Pháp và 18 người không biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Công ty cần tuyển 5 người biết ít nhất một thứ tiếng Anh hoặc Pháp. Tính xác suất để trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp.
Bước 1: Tính không gian mẫu là số cách chọn 5 người trong 32 người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp
Số người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là: \(50 - 18 = 32\).
Số người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp là: \((20 + 17) - 32 = 5\).
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 người trong 32 người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Suy ra \(n(\Omega ) = C_{32}^5\).
Bước 2: Gọi \(A\) là biến cố "trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp". Tính xác suất
Gọi \(A\) là biến cố "trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp".
Chọn 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp có \(C_5^3\) cách.
Ứng với mỗi cách chọn 3 người nói trên, có \(C_{27}^2\) cách chọn 2 người còn lại.
Suy ra, \(n(A) = C_5^3 \cdot C_{27}^2.\)
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(p(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{1755}}{{100688}}\).
Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 4 quả cầu vàng lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả vàng là:
Bước 1:
Số cách chọn \(2\) quả cầu trong hộp là: \(C_7^2\).
Bước 2:
Số cách chọn được \(2\) quả cầu vàng là \(C_4^2\).
Bước 3:
Xác suất cần tính: \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^2}}{{C_7^2}} = \dfrac{2}{7}\).
Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất hai lần. Gọi A là biến cố "tổng số chấm xuất hiện trên mặt của xúc sắc sau hai lần gieo bằng 8". Khi đó xác suất của biến cố A là bao nhiêu ?
Bước 1:
Ta có \(8 = 2 + 6 = 6 + 2 = 3 + 5\)\( = 5 + 3 = 4 + 4\)
Bước 2:
Xác suất 1 lần gieo trúng một số bất kì (một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6) là \(\dfrac{1}{6}\)
Bước 3:
Nên gieo xúc sắc 2 lần thì sẽ có xác suất là \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}\)
Bước 4:
Với lần gieo được \(\left\{ {2;6} \right\}\) và \(\left\{ {6;2} \right\}\) thì có xác suất giống nhau: đều bằng \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}\)
Với lần gieo được \(\left\{ {3;4} \right\}\) và \(\left\{ {4;3} \right\}\) thì có xác suất giống nhau: đều bằng \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}\)
Với lần gieo được \(\left\{ {4;4} \right\}\) thì có xác suất là \({\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}\)
Bước 5:
Do đó xác suất để thỏa mãn bài toán là \(\dfrac{1}{{36}}.2 + \dfrac{1}{{36}}.2 + \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{5}{{36}}\)
Có 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9, người ta rút ngẫu nhiên hai thẻ khác nhau. Xác suất để rút được hai thẻ mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn bằng:
Số phần tử của không gian mẫu: \({n_\Omega } = C_9^2 = 36\).
Gọi A là biến cố: “rút được hai thẻ khác nhau mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn” \( \Rightarrow \) Ít nhất 1 trong hai thẻ phải mang số chẵn.
\( \Rightarrow \) Biến cố đối: \(\overline A \): “Cả hai thẻ mang số lẻ” \( \Rightarrow {n_{\overline A }} = C_5^2 = 10\).
Vậy xác suất của biến cố A là \({P_A} = 1 - \dfrac{{{n_{\overline A }}}}{{{n_\Omega }}} = 1 - \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{{13}}{{18}}\).
Một hộp có 7 viên bi trắng khác nhau, 6 viên bi xanh khác nhau, 3 viên bi đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Xác suất sao cho lấy được cả 3 viên bi không có bi đỏ nào.
Bước 1:
Tổng số bi trong hộp là 16 \( \Rightarrow \left| \Omega \right| = C_{16}^3\)
Bước 2:
Gọi A là biến cố: “Lấy 3 viên bi không có màu đỏ”
Bước 3:
Tổng số bi xanh và trắng là \(7 + 6 = 13\).
\( \Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{13}^3\)
Bước 4:
Vậy \(P = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \dfrac{{C_{13}^3}}{{C_{16}^3}} = \dfrac{{143}}{{280}}\)
Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu, các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 2 câu còn lại. Tính xác suất để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn hoặc bằng 6 điểm?
Bước 1: Gọi \(A\) là biến cố "học sinh đó đúng ít nhất 5 câu trong 25 câu còn lại".
Học sinh đã làm đúng được 25 câu, nghĩa là đã được 5 điểm.
Để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn hoặc bằng 6 điểm thì học sinh đó đúng ít nhất 5 câu trong 25 câu còn lại.
Gọi \(A\) là biến cố "học sinh đó đúng ít nhất 5 câu trong 25 câu còn lại".
\( \Rightarrow \bar A\) là biến cố học sinh đó đúng nhiều nhất 4 câu trong 25 câu còn lại.
Bước 2: Tính xác suất của 5 trường hợp
Xét các trường hợp sau:
TH1. Học sinh đó đúng 4 câu, có xác suất là: \(C_{25}^4 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^4} \cdot {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{21}} = \dfrac{{C_{25}^4 \cdot {3^{21}}}}{{{4^{25}}}}\).
TH2. Học sinh đó đúng 3 câu, có xác suất là: \(\dfrac{{C_{25}^3 \cdot {3^{22}}}}{{{4^{25}}}}\).
TH3. Học sinh đó đúng 2 câu, có xác suất là: \(\dfrac{{C_{25}^2 \cdot {3^{23}}}}{{{4^{25}}}}\).
TH4. Học sinh đó đúng 1 câu, có xác suất là: \(\dfrac{{C_{25}^1{{.3}^{24}}}}{{{4^{25}}}}\).
TH5. Học sinh đó không đúng câu nào, có xác suất là: \(\dfrac{{{3^{25}}}}{{{4^{25}}}}\).
Bước 3: Tính \(P(A) = 1 - P(\bar A)\)
\( \Rightarrow P(\bar A) = \dfrac{{C_{25}^4 \cdot {3^{21}} + C_{25}^3 \cdot {3^{22}} + C_{25}^2 \cdot {3^{23}} + C_{25}^1 \cdot {3^{24}} + {3^{25}}}}{{{4^{25}}}}\)
Vậy \(P(A) = 1 - P(\bar A) \approx 78,626\% \).
Gọi \(X\) là tập hợp các số tự nhiên gồm \(6\) chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp \(X.\) Tính xác suất để số được chọn chỉ chứa \(3\) chữ số chẵn.
Bước 1:
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = A_9^6\)
Bước 2:
Gọi A là biến cố: “ số có 6 chữ số chỉ chứa ba chữ số chẵn”
Bước 3:
Như vậy số đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ
Số cách chọn 3 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn là \(C_4^3\)
Số cách chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ là \(C_5^3\)
Số cách lập ra số có 6 chữ số mà chỉ có 3 chữ số chẵn từ 9 số đã cho là \(n\left( A \right) = 6!.C_4^3.C_5^3\)
Bước 4:
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{6!C_4^3C_5^3}}{{A_9^6}} = \dfrac{{10}}{{21}}\)
Cho \(100\) tấm thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(100\), chọn ngẫu nhiên \(3\) tấm thẻ. Xác suất để chọn được \(3\) tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho \(2\) là
Bước 1:
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{100}^3\)
Bước 2:
Gọi A là biến cố “chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho ”
Bước 3:
TH1: Chọn được cả 3 tấm thẻ mang số chẵn. Khi đó có \(C_{50}^3\) cách chọn
TH2: Chọn được hai tấm thẻ mang số lẻ và một tấm thẻ mang số chẵn. Khi đó có \(C_{50}^2C_{50}^1\) cách chọn
Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_{50}^3 + C_{50}^2C_{50}^1\)
Bước 4:
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_{50}^3 + C_{50}^2C_{50}^1}}{{C_{100}^3}} = \dfrac{1}{2}\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102
Từ một hộp chứa \(10\) quả bóng gồm \(4\) quả màu đỏ và \(6\) quả màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả. Xác suất để lấy được \(3\) quả màu xanh bằng
Chọn \(3\) quả bóng từ \(10\) quả bóng có \(C_{10}^3\) cách chọn.
Gọi \(A\) là biến cố lấy được \(3\) quả màu xanh. Ta tính số phần tử của tập \(A.\)
Chọn \(3\) quả màu xanh có \(C_6^3\)
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \dfrac{1}{6}\)
Sắp xếp 6 chữ cái H, S, V, H, S, N thành một hàng. Tính xác suất sao cho 2 chữ cái giống nhau đứng cạnh nhau?
Bước 1:
Xếp ngẫu nhiên 6 chữ cái trên thành hàng ngang có \(\dfrac{{6!}}{{2!.2!}} = 180\) cách \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 180\).
Bước 2:
Buộc các chữ cái H, H thành 1 buộc, S, S thành một buộc, khi đó ta cần xếp các chữ cái \(\left( {HH} \right),\,\,\left( {SS} \right),\,\,V,\,\,N\) thành 1 hàng ngang, có \(4! = 24\) cách.
Gọi A là biến cố: “2 chữ cái giống nhau đứng cạnh nhau” \( \Rightarrow n\left( A \right) = 24\).
Bước 3:
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{24}}{{180}} = \dfrac{2}{{15}}\).
