Biến cố và xác suất của biến cố

Gọi A là biến cố: “trong số $7$ viên bi được lấy ra có ít nhất 1 viên bi màu đỏ.”

- Số phần tử của không gian mẫu là: Số cách chọn $7$ trong $55$ viên bi. Có $C_{55}^7$ cách. 

- $\overline A$ là biến cố: “trong số 7 viên bi được lấy ra không có viên bi màu đỏ nào”. Có 20 viên bi không phải màu đỏ.

=> $n\left( {\overline A } \right) = C_{20}^7.$

=> $n\left( A \right) = \Omega  - n\left( {\overline A } \right) = C_{55}^7 - C_{20}^7.$

=> $P\left( A \right) = \dfrac{{C_{55}^7 - C_{20}^7}}{{C_{55}^7}}.$

Gọi A là biến cố: “lấy được 1 sản phẩm tốt.“

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega  \right) = C_{1000}^1 = 1000.$

Số cách lấy được sản phẩm tốt là $n\left( A \right) = C_{950}^1 = 950.$

=> $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{950}}{{1000}} = 0,95.$

Gọi A là biến cố: “có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh“

- Không gian mẫu: $\left| \Omega  \right| = C_{12}^1.C_{12}^1 = 144$.

- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1, 1 bút xanh ở hộp 2 là:  $C_5^1.C_4^1.$

- Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2, 1 bút xanh ở hộp 1 là:  $C_8^1.C_7^1.$

=> $n\left( A \right) = C_5^1.C_4^1 + C_8^1.C_7^1 = 76.$

=> $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{76}}{{144}} = \dfrac{{19}}{{36}}.$

Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “

- Không gian mẫu: $\left| \Omega  \right| = C_{15}^5$.

- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 4 nam, 1 nữ là: $C_8^4.C_7^1.$

- Số cách chọn 5 bạn trong đó có 3 nam, 2 nữ là: $C_8^3.C_7^2.$

=> $n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666$

=> $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \dfrac{{238}}{{429}}.$

$n(\Omega ) = 6.6.6 = 216$. Gọi $A$:”tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba”.

Ta chỉ cần chọn 1 bộ 2 số chấm ứng với hai lần gieo đầu sao cho tổng của chúng thuộc tập $\{ 1;2;3;4;5;6\}$ và số chấm lần gieo thứ ba sẽ là tổng hai lần gieo đầu.

Liệt kê ra ta có:

${\rm{\{ (1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(4;1);(4;2);(5;1)\} }}$

Do đó $n(A) = 15$. Vậy $P(A) = \dfrac{{15}}{{216}}$.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega  \right) = {6^3}$.

Gọi $A$ là biến cố “Xuất hiện nhiều nhất $2$ mặt $5$” hay $A$: “Xuất hiện không quá hai mặt $5$”.

Khi đó $\overline A$: “Xuất hiện cả ba mặt đều là $5$”.

$\Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = {6^3} - 1 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{216}}$.

Xác suất biến cố $A$ là : $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{1}{{216}} = \dfrac{{215}}{{216}}$.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {6^2}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Tổng hai mặt chia hết cho $3$”, các trường hợp có thể xảy ra của $A$ là:

$A = \{ {\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;4} \right),\left( {4;2} \right),\left( {3;6} \right),\left( {6;3} \right),\left( {3;3} \right),\left( {6;6} \right),\left( {4;5} \right),\left( {5;4} \right)} \}$

Do đó $n\left( {{\Omega _A}} \right) = 12$.

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{12}}{{36}} = \dfrac{1}{3}$.

Gọi A là biến cố: “A và B đứng liền nhau.”

- Số phần tử của không gian mẫu: $10!.$

Coi hai anh A và B là một nhóm thì có $2!$ cách xếp chỗ cho A và B trong nhóm.

Xếp nhóm anh A và B với $8$ người còn lại thì có $9!$ cách xếp.

Số cách xếp để anh A và anh B đứng liền nhau là $n\left( A \right) = 2!.9!.$

=> $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{2!.9!}}{{10!}} = \dfrac{1}{5}.$

Chọn $3$ quả từ hộp chứa $12$ quả bóng ta có: $C_{12}^3$ cách chọn

Gọi $A$ là biến cố chọn được $3$ quả màu đó.

Khi đó $n\left( A \right) = C_5^3$

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{C_5^3}}{{C_{12}^3}} = \dfrac{1}{{22}}$

+ Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega  \right) = C_{12}^3$.

+ Gọi A là biến cố: “Lấy dược 3 quả màu xanh”

$\Rightarrow$ Số phần tử thuận lợi của A là : $n\left( A \right) = C_7^3$.

+ Xác suất: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_7^3}}{{C_{12}^3}} = \dfrac{7}{{44}}$. 

Bước 1: Tính không gian mẫu là số cách chọn 5 người trong 32 người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp

Số người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là: $50 - 18 = 32$.

Số người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp là: $(20 + 17) - 32 = 5$.

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 người trong 32 người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp. Suy ra $n(\Omega ) = C_{32}^5$.

Bước 2: Gọi $A$ là biến cố "trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp". Tính xác suất

Gọi $A$ là biến cố "trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp".

Chọn 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp có $C_5^3$ cách.

Ứng với mỗi cách chọn 3 người nói trên, có $C_{27}^2$ cách chọn 2 người còn lại.

Suy ra, $n(A) = C_5^3 \cdot C_{27}^2.$

Vậy xác suất của biến cố $A$ là $p(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{1755}}{{100688}}$.

Bước 1:

Số cách chọn $2$ quả cầu trong hộp là: $C_7^2$.

Bước 2:

Số cách chọn được $2$ quả cầu vàng là $C_4^2$.

Bước 3:

Xác suất cần tính: $P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^2}}{{C_7^2}} = \dfrac{2}{7}$.

Bước 1:

Ta có $8 = 2 + 6 = 6 + 2 = 3 + 5$$= 5 + 3 = 4 + 4$

Bước 2:

Xác suất 1 lần gieo trúng một số bất kì (một trong các số 1, 2, 3, 4, 5, 6) là $\dfrac{1}{6}$

Bước 3:

Nên gieo xúc sắc 2 lần thì sẽ có xác suất là ${\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}$

Bước 4:

Với lần gieo được $\left\{ {2;6} \right\}$ và $\left\{ {6;2} \right\}$ thì có xác suất giống nhau: đều bằng ${\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}$

Với lần gieo được $\left\{ {3;4} \right\}$ và $\left\{ {4;3} \right\}$ thì có xác suất giống nhau: đều bằng ${\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}$

Với lần gieo được $\left\{ {4;4} \right\}$ thì có xác suất là ${\left( {\dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{1}{{36}}$

Bước 5:

Do đó xác suất để thỏa mãn bài toán là $\dfrac{1}{{36}}.2 + \dfrac{1}{{36}}.2 + \dfrac{1}{{36}} = \dfrac{5}{{36}}$

Số phần tử của không gian mẫu: ${n_\Omega } = C_9^2 = 36$.

Gọi A là biến cố: “rút được hai thẻ khác nhau mà tích hai số được đánh trên thẻ là số chẵn” $\Rightarrow$ Ít nhất 1 trong hai thẻ phải mang số chẵn.

$\Rightarrow$ Biến cố đối: $\overline A$: “Cả hai thẻ mang số lẻ” $\Rightarrow {n_{\overline A }} = C_5^2 = 10$.

Vậy xác suất của biến cố A là ${P_A} = 1 - \dfrac{{{n_{\overline A }}}}{{{n_\Omega }}} = 1 - \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{{13}}{{18}}$.

Bước 1:

Tổng số bi trong hộp là 16 $\Rightarrow \left| \Omega  \right| = C_{16}^3$

Bước 2:

Gọi A là biến cố: “Lấy 3 viên bi không có màu đỏ”

Bước 3:

Tổng số bi xanh và trắng là $7 + 6 = 13$.

$\Rightarrow \left| {{\Omega _A}} \right| = C_{13}^3$

Bước 4:

Vậy $P = \dfrac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{C_{13}^3}}{{C_{16}^3}} = \dfrac{{143}}{{280}}$

Bước 1: Gọi $A$ là biến cố "học sinh đó đúng ít nhất 5 câu trong 25 câu còn lại".

Học sinh đã làm đúng được 25 câu, nghĩa là đã được 5 điểm.

Để điểm thi môn Toán của học sinh đó lớn hơn hoặc bằng 6 điểm thì học sinh đó đúng ít nhất 5 câu trong 25 câu còn lại.

Gọi $A$ là biến cố "học sinh đó đúng ít nhất 5 câu trong 25 câu còn lại".

$\Rightarrow \bar A$ là biến cố học sinh đó đúng nhiều nhất 4 câu trong 25 câu còn lại.

Bước 2: Tính xác suất của 5 trường hợp

Xét các trường hợp sau:

TH1. Học sinh đó đúng 4 câu, có xác suất là: $C_{25}^4 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^4} \cdot {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{21}} = \dfrac{{C_{25}^4 \cdot {3^{21}}}}{{{4^{25}}}}$.

TH2. Học sinh đó đúng 3 câu, có xác suất là: $\dfrac{{C_{25}^3 \cdot {3^{22}}}}{{{4^{25}}}}$.

TH3. Học sinh đó đúng 2 câu, có xác suất là: $\dfrac{{C_{25}^2 \cdot {3^{23}}}}{{{4^{25}}}}$.

TH4. Học sinh đó đúng 1 câu, có xác suất là: $\dfrac{{C_{25}^1{{.3}^{24}}}}{{{4^{25}}}}$.

TH5. Học sinh đó không đúng câu nào, có xác suất là: $\dfrac{{{3^{25}}}}{{{4^{25}}}}$.

Bước 3: Tính $P(A) = 1 - P(\bar A)$

$\Rightarrow P(\bar A) = \dfrac{{C_{25}^4 \cdot {3^{21}} + C_{25}^3 \cdot {3^{22}} + C_{25}^2 \cdot {3^{23}} + C_{25}^1 \cdot {3^{24}} + {3^{25}}}}{{{4^{25}}}}$

Vậy $P(A) = 1 - P(\bar A) \approx 78,626\%$.

Bước 1:

Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega  \right) = A_9^6$

Bước 2:

Gọi A là biến cố: “ số có 6 chữ số chỉ chứa ba chữ số chẵn”

Bước 3:

Như vậy số đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

Số cách chọn 3 chữ số chẵn từ 4 chữ số chẵn là $C_4^3$

Số cách chọn 3 chữ số lẻ từ 5 chữ số lẻ là $C_5^3$

Số cách lập ra số có 6 chữ số mà chỉ có 3 chữ số chẵn từ 9 số đã cho là $n\left( A \right) = 6!.C_4^3.C_5^3$

Bước 4:

Xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{6!C_4^3C_5^3}}{{A_9^6}} = \dfrac{{10}}{{21}}$

Bước 1:

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega  \right) = C_{100}^3$

Bước 2:

Gọi A là biến cố “chọn được 3 tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là số chia hết cho ”

Bước 3:

TH1: Chọn được cả 3 tấm thẻ mang số chẵn. Khi đó có $C_{50}^3$ cách chọn

TH2: Chọn được hai tấm thẻ mang số lẻ và một tấm thẻ mang số chẵn. Khi đó có $C_{50}^2C_{50}^1$ cách chọn

Số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = C_{50}^3 + C_{50}^2C_{50}^1$

Bước 4:

Xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{C_{50}^3 + C_{50}^2C_{50}^1}}{{C_{100}^3}} = \dfrac{1}{2}$

Chọn $3$ quả bóng từ $10$ quả bóng có $C_{10}^3$ cách chọn.

Gọi $A$ là biến cố lấy được $3$ quả màu xanh. Ta tính số phần tử của tập $A.$

Chọn $3$ quả màu xanh có $C_6^3$

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \dfrac{1}{6}$

Bước 1:

Xếp ngẫu nhiên 6 chữ cái trên thành hàng ngang có $\dfrac{{6!}}{{2!.2!}} = 180$ cách $\Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 180$.

Bước 2:

Buộc các chữ cái H, H thành 1 buộc, S, S thành một buộc, khi đó ta cần xếp các chữ cái $\left( {HH} \right),\,\,\left( {SS} \right),\,\,V,\,\,N$ thành 1 hàng ngang, có $4! = 24$ cách.

Gọi A là biến cố: “2 chữ cái giống nhau đứng cạnh nhau” $\Rightarrow n\left( A \right) = 24$.

Bước 3:

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{24}}{{180}} = \dfrac{2}{{15}}$.