Biến cố và xác suất của biến cố

$S = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}$

Số cách chọn số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ tập hợp đã cho là: ${n_\Omega } = A_7^4$ cách chọn.

Gọi biến cố A: ‘‘Số tự nhiên  được chọn có 4 chữ số khác nhau và các số không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ’’.

Khi đó ta có các trường hợp chọn các số tự nhiên thỏa mãn biến cố A:

+) Số được chọn có đúng 1 chữ số lẻ.

Chọn chữ số lẻ trong 4 chữ số lẻ có 4 cách chọn.

Các số chẵn được chọn là: $\left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}.$

Khi đó xếp 4 chữ số trên có: $4!$ cách xếp.

$\Rightarrow$ Trường hợp này có: $4.4! = 96$ cách chọn.

+) Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ, các chữ số chẵn, lẻ đó xen kẽ nhau.

Chọn 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn có: $C_4^2C_3^2 = 18$ cách chọn.

Xếp 2 chữ số chẵn đã chọn có 2 cách xếp và tạo thành 3 vách ngăn.

Xếp 2 chữ số lẻ vào 2 trong 3 vị trí vách ngăn đó có $A_3^2 = 6$ cách xếp.

$\Rightarrow$ Có: $C_4^2C_3^2.2.A_3^2 = 216$ cách xếp.

$\Rightarrow {n_A} = 96 + 216 = 312$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \dfrac{{312}}{{A_7^4}} = \dfrac{{13}}{{35}}.$

Các thí nghiệm ở đáp án A, B, C đều là các phép thử ngẫu nhiên vì ta không đoán trước kết quả, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra với nó.

Thí nghiệm ở đáp án D không phải phép thử ngẫu nhiên vì ta đã biết chắc kết quả là có $5$ viên bi.

Khi gieo một đồng xu thì có thể ra mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N).

Do đó không gian mẫu khi gieo hai đồng xu là: $\Omega  = \left\{ {SS,NN,NS,SN} \right\}$.

Ta có: $n(\Omega ) = 6.6 = 36$.

Gọi $A$:”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.

$A = {\rm{\{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} }}$.

Do đó $n(A) = 6$.

Vậy $P(A) = \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{1}{6}$.

Số chấm có thể xuất hiện ở xúc sắc thứ nhất là 1;2;3;4;5;6.

Số chấm có thể xuất hiện ở xúc sắc thứ hai là 1;2;3;4;5;6.

Mỗi phần tử của không gian mẫu là tích của 2 số bất kì xuất hiện ở mỗi xúc sắc trên (2 số này có thể trùng nhau).

Mô tả không gian mẫu 

$\Omega =$ $\left\{ {1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;} \right.\left. {15;16;18;20;24;25;30;36} \right\}$

Vậy số phần tử là $18$.

Ta có:

${\Omega _A} = \{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right);\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \}$

Ta có: ${\Omega _A} = \left\{ {NS,SN} \right\}$.

Trong các đáp án đã cho ta thấy chỉ có đáp án C là không thỏa mãn điều kiện của biến cố đối.

Kết quả của $5$ lần gieo là dãy $abcde$, trong đó $a,b,c,d,e$ nhận một trong hai giá trị $S,N$. Do đó số phần tử của không gian mẫu là $2.2.2.2.2 = 32$.

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.”

Số cách chọn $2$ trong $10$ người là $n\left( \Omega  \right) = C_{10}^2 = 45.$

Số cách chọn trong đó có $1$ nữ và $1$ nam là $n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21.$

=>$P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}.$

Xác suất xảy ra biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}$.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega  \right) = {6^2} = 36$.

Gọi A là biến cố để tổng hai mặt là $11$, các trường hợp có thể xảy ra của A là $A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}$ .

Số phần tử của không gian thuận lợi là: $n\left( A \right) = 2$.

Xác suất biến cố $A$ là : $P\left( A \right) = \dfrac{1}{{18}}$.

Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega  \right) = 2.2 = 4$.

Biến cố $A$ có ${\Omega _A} = \left\{ {SN,NS,NN} \right\}$ nên $n\left( {{\Omega _A}} \right) = 3$.

Vậy xác suất $P\left( A \right) = \dfrac{3}{4}$.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {2^5} = 32$.

Biến cố $A$:”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó: $\overline A$:”Tất cả đều là  mặt ngửa”.

Suy ra $P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{32}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{1}{{32}} = \dfrac{{31}}{{32}}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {2^4} = 16,n\left( {{\Omega _A}} \right) = 1$ $\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{1}{{16}}$

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {2^3} = 8$.

Ba đồng xu ra cùng một mặt thì chỉ có thể là $SSS,NNN$ nên: $P\left( A \right) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {2^3} = 8$.

Gọi $A$  là biến cố: “Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó $A = \left\{ {SSN,SNS,NSS} \right\}$ nên $P\left( A \right) = \dfrac{3}{8}$.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {6^5}$.

Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:

$\begin{array}{l}\left( {1;1;2} \right),\left( {1;2;3} \right),\left( {1;3;4} \right),\left( {1;4;5} \right),\\ \left( {1;5;6} \right), \left( {2;1;3} \right),\left( {2;2;4} \right),\left( {2;3;5} \right),\\ \left( {2;4;6} \right),\left( {3;1;4} \right),\left( {3;2;5} \right),\left( {3;3;6} \right),\\ \left( {4;1;5} \right),\left( {4;2;6} \right),\left( {5;1;6} \right)\end{array}$

Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có $6$ khả năng xảy ra nên $n\left( A \right) = 15.6.6$.

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{15.6.6}}{{{6^5}}} = \dfrac{{15}}{{216}}$.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {6^3}$.

Gọi $A$ là biến cố: “Số chấm trên ba con xúc sắc bằng nhau”.

Khi đó các trường hợp có thể có của $A$ là: ${\left( {1;1;1} \right),\left( {2;2;2} \right),\left( {3;3;3} \right),\left( {4;4;4} \right),\left( {5;5;5} \right),\left( {6;6;6} \right)}$

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{6}{{216}} = \dfrac{1}{{36}}$.

Ta có: $n\left( \Omega  \right) = {6^6}$.

TH1: Số bằng $5$ xuất hiện đúng $5$ lần $\Rightarrow$ có $5.6 = 30$ khả năng xảy ra.

TH2: Số bằng $5$ xuất hiện đúng $6$ lần $\Rightarrow$ có $1$ khả năng xảy ra.

TH3: Số bằng $6$ xuất hiện đúng $5$ lần $\Rightarrow$ có $5.6 = 30$ khả năng xảy ra.

TH4: Số bằng $6$ xuất hiện đúng $6$ lần $\Rightarrow$ có $1$ khả năng xảy ra.

Vậy có $30 + 1 + 30 + 1 = 62$ khả năng xảy ra biến cố $A$.

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{62}}{{{6^6}}} = \dfrac{{31}}{{23328}}$.