Trong một lớp học có \(2n + 3\) học sinh (n nguyên dương), gồm Hoa, Hồng, Cúc và $2 n$ học sinh khác. Xếp tùy ý \(2n + 3\) học \(\sinh \) trên ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến \(2n + 3\), mỗi học sinh ngồi môt ghế. Giả sử Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào các ghế được đánh số lần lượt là $x, y, z$ và gọi \(p\) là xác suất để $x, y, z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết \(p = \dfrac{{12}}{{575}}\), mệnh đề nào sau đây đúng?

Bước 1:

Số phần tử không gian mẫu là số cách xếp \((2n + 3)\) học sinh vào ghế. Khi đó \(n(\Omega ) = (2n + 3)!\).

Bước 2: Gọi \(T\) là biến cố: "Hoa, Hồng, Cúc được sắp xếp ngồi vào các ghế được đánh số lần lượt là $x, y, z$ sao cho \(y = \dfrac{{x + z}}{2}\)”.

Suy ra \(x + z\) chia hết cho 2 . Khi đó, bài toán trở thành: xếp Hoa và Cúc vào 2 chỗ \(x\) và \(z\) thỏa mãn tổng \(x + z\) là số chẵn (khi đó \(y = \dfrac{{x + z}}{2}\) là duy nhất nên sẽ có duy nhất một cách xếp cho Hồng).

Ta có 2 trường hợp sau:

Trường hợp 1: $x, z$ cùng lẻ.

Do từ 1 đến \(2n + 3\) có \(n + 2\) số lẻ, nên trường hợp này có \(A_{n + 2}^2 \cdot (2n)!\) cách xếp.

Trường hợp 2: $x, z$ cùng chẵn.

Từ 1 đến \(2n + 3\) có \(n + 1\) số chẵn, nên trường hợp này có \(A_{n + 1}^2.(2n)!\) cách xếp.

Bước 3: Tìm n

Khi đó số phần tử của biến cố \(T\) là: \(n(T) = \left( {A_{n + 2}^2 + A_{n + 1}^2} \right) \cdot (2n)!\).

Ta có: \(p = \dfrac{{n(T)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{{\left( {A_{n + 2}^2 + A_{n + 1}^2} \right) \cdot (2n)!}}{{(2n + 3)!}}\)\( = \dfrac{{12}}{{575}}(*)\).

\((*) \Leftrightarrow \dfrac{{(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)}}{{(2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)}}\)\( = \dfrac{{12}}{{575}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{n + 2 + n}}{{2(2n + 1)(2n + 3)}} = \dfrac{{12}}{{575}}\) (do \(n + 1 > 0\)).  \(48{n^2} - 479n - 539 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 11\left( {TN} \right)}\\{n =  - \dfrac{{49}}{{48}}(KTM)}\end{array}} \right.\).

=> \(n = 11\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy \(n \le 15\)