Đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + t\end{array} \right.\) qua đường thẳng \(\Delta :x + 2y = 0\) có phương trình là:

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + t\end{array} \right. \Rightarrow x + 2y - 5 = 0\)

Mà \(\Delta :x + 2y = 0 \Rightarrow d\parallel \Delta .\)

+ Gọi \(d'\) là đường thẳng đối xứng với \(d\) qua \(\Delta \) \( \Rightarrow d'\) cũng song song \(\Delta \).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d'\) có dạng: \(x + 2y + c = 0\).

+ Trên \(d\) lấy điểm \(A\left( {5;0} \right)\). Trên \(\Delta \) lấy điểm \(I\left( {2; - 1} \right)\). 

+ Gọi \(A' \in d'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(I\) \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} =  - 1\\{y_{A'}} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 1; - 2} \right)\) 

Mà \(A' \in d' \Rightarrow x + 2y + c = 0\)\( \Leftrightarrow  - 1 - 4 + c = 0 \Leftrightarrow c = 5.\) 

Vậy phương trình đường thẳng \(d'\) là \(x + 2y + 5 = 0\).