Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Hình (III) có thể là hình tứ diện. Vì nếu ta nhìn từ điểm C hướng xuống BD thì B, C, D thẳng hàng.

Hình (IV) có thể là hình tứ diện. Vì nếu điểm C nằm phía trước mặt phẳng (ABD) thì ta có thể nhìn thấy các đường CA,CB,CD, do đó các đường này là nét liền

Hình chóp ngũ giác có $5$ mặt bên + $1$  mặt đáy. $5$ cạnh bên và $5$ cạnh đáy.

Hình tứ diện là hình chóp có số cạnh ít nhất.

Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng chung $\Rightarrow$ B sai.

$\bullet$ Hình chóp $S.ABCD$ có 4 mặt bên: $\left( {SAB} \right),\;\left( {SBC} \right),\;\left( {SCD} \right),\;\left( {SAD} \right).$ Do đó A đúng.

$\bullet$ $S$ là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$

$\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right).$

 Do đó B đúng.

$\bullet$ Tương tự, ta có $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI.$ Do đó C đúng.

$\bullet$ $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA$ mà $SA$ không phải là đường trung bình của hình thang $ABCD.$ Do đó D sai.

$\bullet$ $A$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

$\bullet$ Ta có:

$BG \cap CD = N \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in BG \subset \left( {ABG} \right) \Rightarrow N \in \left( {ABG} \right)\\N \in CD \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow N \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow N$  là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {GAB} \right).$

Vậy $\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AN.$

Điểm $I$ là giao điểm của $EF$ và $BC$ mà 

$\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {BCD} \right)\\EF \subset \left( {DEF} \right)\\EF \subset \left( {ABC} \right)\\EF \subset \left( {AEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {DEF} \right)\\I \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {ABC} \right)\\I \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {AEF} \right)\end{array} \right.$

$\bullet$ $B$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$

$\bullet$ Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,{\rm{ }}CD$ nên suy ra $AN,{\rm{ }}DM$ là hai trung tuyến của tam giác $ACD.$ Gọi $G = AN \cap DM$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right) \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right) \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MBD} \right)$ và $\left( {ABN} \right).$

Vậy $\left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right) = BG.$

$\bullet$ $S$là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

$\bullet$ Gọi $O = AC \cap BD$ là tâm của hình hình hành.

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $T = AC \cap MN$ $\Rightarrow T \equiv O$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\\O \in MN \subset \left( {SMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SMN} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow O$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Vậy $\left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO.$

$\bullet$ Ta có $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ $\Rightarrow IJ\parallel AB\parallel CD \Rightarrow IJ\parallel CD$

$\Rightarrow IJCD$ là hình thang. Do đó A đúng.

$\bullet$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}IB \subset \left( {SAB} \right)\\IB \subset \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.$ Do đó B đúng.

$\bullet$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}JD \subset \left( {SBD} \right)\\JD \subset \left( {JBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBD} \right) \cap \left( {JBD} \right) = JD.$ Do đó C đúng.

$\bullet$ Trong mặt phẳng $\left( {IJCD} \right)$, gọi $M = IC \cap JD$$\Rightarrow \left( {IAC} \right) \cap \left( {JBD} \right) = MO.$ Do đó D sai. 

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ với $BM$

$\bullet$ $S$ là điểm chung thứ nhất giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

$\bullet$ Ta có $\left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SBM} \right) \Rightarrow I \in \left( {SBM} \right)\\I \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow I$ là điểm chung thứ hai giữa hai mặt phẳng $\left( {MSB} \right)$ và $\left( {SAC} \right).$

Vậy $\left( {MSB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SI.$

Điểm $K$ là trung điểm của $BC$ suy ra $K \in \left( {IBC} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {IBC} \right).$

Điểm $I$ là trung điểm của $AD$ suy ra $I \in \left( {KAD} \right)\,\, \Rightarrow \,\,IK \subset \left( {KAD} \right).$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng  $\left( {IBC} \right)$ và $\left( {KAD} \right)$ là $IK.$

Ta có $A$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$, gọi $E = SI \cap DM$.

Ta có:

● $E \in SI$ mà $SI \subset \left( {SAC} \right)$ suy ra $E \in \left( {SAC} \right)$.

● $E \in DM$ mà $DM \subset \left( {ADM} \right)$ suy ra $E \in \left( {ADM} \right)$.

Do đó $E$ là điểm chung thứ hai của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

Vậy $AE$ là giao tuyến của $\left( {ADM} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$.

Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right),$ $IJ$ cắt $CD$ tại $H\,\, \Rightarrow \,\,H \in \left( {ACD} \right).$

Điểm $H \in IJ$ suy ra bốn điểm $M,\,\,I,\,\,J,\,\,H$ đồng phẳng.

Nên trong mặt phẳng $\left( {IJM} \right)$, $MH$ cắt $IJ$ tại $H$ và $MH \subset \left( {IJM} \right).$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {ACD} \right)\\H \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\,\, \Rightarrow \,\,MH \subset \left( {ACD} \right).$ Vậy $\left( {ACD} \right) \cap \left( {IJM} \right) = MH.$