Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bước 1:

Với ${x_0} = 0$ ta được ${y_0} = f\left( 0 \right) =  - 1$ .

Tính được: $f'\left( 0 \right) =  - 12$

Bước 2:

Phương trình tiếp tuyến : $y = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) - 1$ hay $y =  - 12x - 1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$.

Bước 1:

$y' = 3{x^2} - 2 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 1$

Bước 2:

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại $M\left( {1;2} \right)$ là: $y = 1\left( {x - 1} \right) + 2 = x + 1$

$y = x\sqrt x  = {x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow y' = \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} = \dfrac{3}{2}\sqrt x  \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \dfrac{3}{2}$

 $\Rightarrow$ Pttt của đường cong tại $M\left( {1;1} \right)$ là: $y = \dfrac{3}{2}\left( {x - 1} \right) + 1 = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2}$

$y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( 2 \right) =  - 3$

$\begin{array}{l}y = 5 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} = 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \left( C \right) \cap Oy = M\left( {1;5} \right)\\y' = 6{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 12\end{array}$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {1;5} \right)$ là: $y = 12\left( {x - 1} \right) + 5 = 12x - 7$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $- {x^3} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow M\left( { - 2;0} \right)\\x = 1 \Rightarrow N\left( {1;0} \right)\end{array} \right.$

$y' =  - 3{x^2} + 3$

$y'\left( { - 2} \right) =  - 9 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( { - 2;0} \right)$ là: $y =  - 9\left( {x + 2} \right) + 0 =  - 9x - 18$

$y'\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow$  Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $N\left( {1;0} \right)$ là $y = 0\left( {x - 1} \right) + 0 = 0$

$\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\\f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,f''\left( x \right) = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\end{array}$

$y'\left( 1 \right) =  - 3 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M\left( {1;0} \right)$ là $y =  - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0$

$y' = 3{x^2} - 1 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 2$

$\Rightarrow$ phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {1;3} \right)$ là: $y = 2\left( {x - 1} \right) + 3 = 2x + 1$

Xét phương trình hoành độ giao điểm

${x^3} - x + 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \Rightarrow y =  - 3 \Rightarrow N\left( { - 2; - 3} \right)\\x = 1\end{array} \right.$

$x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow$ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $M\left( {0;2} \right)$

$y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) =  - 1$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {0;2} \right)$ là $y =  - 1\left( {x - 0} \right) + 2 =  - x + 2\,\,\left( d \right)$

Vậy giao điểm của $\left( d \right)$ với trục hoành là điểm có hoành độ $x = 2$.

$y' = \dfrac{1}{2}x - 1$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là: $y = \left( {\dfrac{1}{2}{x_0} - 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{x_0^2}}{4} - {x_0} + 1\,\,\left( d \right)$

$\begin{array}{l}M \in \left( d \right) \Rightarrow  - 1 = \left( {\dfrac{1}{2}{x_0} - 1} \right)\left( {2 - {x_0}} \right) + \dfrac{{x_0^2}}{4} - {x_0} + 1\\ \Leftrightarrow  - 1 = {x_0} - \dfrac{1}{2}x_0^2 - 2 + {x_0} + \dfrac{{x_0^2}}{4} - {x_0} + 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{4}x_0^2 + {x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( d \right):\,\,y =  - x + 1\\\left( d \right):\,\,y = x - 3\end{array} \right.\end{array}$   

$y' = 3{x^2} - 12x + 9$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là $y = \left( {3x_0^2 - 12{x_0} + 9} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 6x_0^2 + 9{x_0}\,\,\left( d \right)$

$d//\left( {y = 9x} \right) \Leftrightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 9 \Rightarrow 3x_0^2 - 12{x_0} + 9 = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.$

Với ${x_0} = 4 \Rightarrow \left( d \right):\,y = 9\left( {x - 4} \right) + 4 = 9x - 32$

Với ${x_0} = 0 \Rightarrow \left( d \right):\,\,y = 9\left( {x - 0} \right) + 0 = 9x\,\,\left( {ktm} \right)$

Bước 1:

$d:\,\,x + 5y = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{1}{5}x$

Ta có: $y = 4{x^3} + 1 \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là:  $y = \left( {4x_0^3 + 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + {x_0}\,\,\left( \Delta  \right)$

Bước 2:

$\Delta  \bot d \Rightarrow \left( {4x_0^3 + 1} \right).\dfrac{{ - 1}}{5} =  - 1 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 1 = 5 \Leftrightarrow 4x_0^3 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 1$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  $y = 5\left( {x - 1} \right) + 2 = 5x - 3$

$y' = 3{x^2} - 3$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)$ là: $y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)$

$\begin{array}{l}A \in d \Rightarrow  - 6 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 1\,\,\left( d \right)\\ \Leftrightarrow  - 6 = 3x_0^2 - 3x_0^3 - 3 + 3{x_0} + x_0^3 - 3{x_0} + 1\\ \Leftrightarrow  - 2x_0^3 + 3x_0^2 + 4 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\end{array}$

Vậy số tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( {1; - 6} \right)$ của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ là $1$.

Bước 1:

$y' = {x^2} - 4x + 3$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ ${x_0}$ là:

$y = \left( {x_0^2 - 4{x_0} + 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{1}{3}x_0^3 - 2x_0^2 + 3{x_0} + 1\left( d \right)$

Bước 2:

$\left( d \right)//\left( {y = 8x + 2} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 8 \Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 3 = 8$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 5}\\{{x_0} = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x - 5} \right) + \dfrac{{23}}{3} = 8x - \dfrac{{97}}{3}}\\{\left( d \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 8\left( {x + 1} \right) - \dfrac{{13}}{3} = 8x + \dfrac{{11}}{3}}\end{array}} \right.$

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là $2$.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x = 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} - 3 \ge  - 3$

$\Rightarrow y{'_{\min }} =  - 3 \Leftrightarrow {x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {1;0} \right)$ là $y =  - 3\left( {x - 1} \right) + 0 =  - 3x + 3$

$\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( { - 1;\dfrac{5}{2}} \right) \Rightarrow \dfrac{5}{2} = \dfrac{{a + b}}{{ - 3}} \Leftrightarrow a + b =  - \dfrac{{15}}{2}$

 Ta có :

$\begin{array}{l}y' = \dfrac{{\left( {2ax - b} \right)\left( {x - 2} \right) - a{x^2} + bx}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{2a{x^2} - 4ax - bx + 2b - a{x^2} + bx}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{a{x^2} - 4ax + 2b}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'\left( 0 \right) = \dfrac{{2b}}{4} = \dfrac{b}{2} =  - 3 \Leftrightarrow b =  - 6\\ \Rightarrow a =  - \dfrac{{15}}{2} - b = \dfrac{{ - 3}}{2} \Rightarrow 4a - b = 0\end{array}$

Bước 1:

Khi $x = 1$ ta có $y = 1 - 2{m^2} + 2m + 1 =  - 2{m^2} + 2m + 2 \Rightarrow \left( {{C_m}} \right) \cap d = M\left( {1; - 2{m^2} + 2m + 2} \right)$

Ta có : $y' = 4{x^3} - 4{m^2}x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4 - 4{m^2}$

Bước 2:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ song song với đường thẳng $y =  - 12x + 4$

$\Leftrightarrow y'\left( 1 \right) =  - 12 \Leftrightarrow 4 - 4{m^2} =  - 12 \Leftrightarrow 4{m^2} = 16 \Leftrightarrow m =  \pm 2$

Ta có : $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m\left( {x \ne 2} \right)$ $\Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m$ $\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$

Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng $d:\,\,y = x + m$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác $2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 13 > 0\\ - 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \mathbb{R}$

Giả sử phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt ${x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)$, theo định lí Vi-et ta có : ${x_A} + {x_B} = 3 - m$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau $\Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)$

Ta có : $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$

$\begin{array}{l}y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4\\ \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m =  - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\end{array}$

$y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 9$

$\Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left( {1;5} \right)$ là

$y = 9\left( {x - 1} \right) + 5 = 9x - 4 \Leftrightarrow 9x - y - 4 = 0\,\,\left( d \right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^3} + 3{x^2} + 1 = 9x - 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5 \Rightarrow y =  - 49\\x = 1 \Rightarrow y = 5\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 5; - 49} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 49 - 5} \right)}^2}}  = 6\sqrt {82} \\d\left( {O;AB} \right) = d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| { - 4} \right|}}{{\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {82} }}\\ \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {O;d} \right).AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{{\sqrt {82} }}.6\sqrt {82}  = 12\end{array}$