Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì $m$ sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?

Ta có : \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m\left( {x \ne 2} \right) $ $\Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m $ $\Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\left( * \right)$

Đồ thị hàm số $\left( C \right):\,\,y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt khác $ 2$

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 13 > 0\\ - 3 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \mathbb{R}\)

Giả sử phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt \({x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có : \({x_A} + {x_B} = 3 - m\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại $A$ và $B$ song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)

Ta có : \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l}y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4\\ \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m =  - 1 \in \left( { - 2;0} \right)\end{array}\)