Cho hàm số \(y = f(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\), có đồ thị \((C)\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y =  - 3x + 4\).

Bước 1:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Bước 2:

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(d:y =  - 3x + 4\) nên

\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 4\end{array} \right.\)

Bước 3:

Với \(x = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2.2 - 1}}{{2 + 1}} = 1\)

Tiếp tuyến tại điểm (2;1) là \(y = \dfrac{1}{3}.\left( {x - 2} \right) + 1 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}\)

Với \(x =  - 4 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2.\left( { - 4} \right) - 1}}{{ - 4 + 1}} = 3\)

Tiếp tuyến tại điểm (-4;3) là \(y = \dfrac{1}{3}.\left( {x + 4} \right) + 3 = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{{13}}{3}\)

Vậy tiếp tuyến là \(y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}\) hoặc \(y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{{13}}{3}\).