Cho hàm số $y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$, tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng.$d:3y-x + 6 = 0$ là
Trả lời bởi giáo viên
Bước 1:
$d:3y-x + 6 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}x - 2 \Rightarrow {k_d} = \dfrac{1}{3}$.
Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm. Ta có \(y' = \dfrac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Bước 2:
Tiếp tuyến vuông góc với $d$\( \Rightarrow {k_{tt}}.{k_d} = - 1\)\( \Leftrightarrow {k_{tt}} = - \dfrac{1}{{{k_d}}} = - 3 \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - 3\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x_0^2 + 4{x_0} + 3}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = - 3\)\( \Leftrightarrow 4x_0^2 + 16{x_0} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - \dfrac{3}{2}\\{x_0} = - \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\).
Với \({x_0} = - \dfrac{3}{2} \Rightarrow {y_0} = \dfrac{3}{2}\)\( \Rightarrow \) pttt: \(y = - 3\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right) + \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3\).
Với \({x_0} = - \dfrac{5}{2} \Rightarrow {y_0} = - \dfrac{7}{2}\)\( \Rightarrow \) pttt: \(y = - 3\left( {x + \dfrac{5}{2}} \right) - \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\).
Bước 2: Sử dụng công thức \(\Delta \bot d \Rightarrow {k_\Delta }.k{ _d} = - 1\)