Mạch R, L, C mắc nối tiếp

A, C, D - sai

B - đúng

Cách 1 :

Ta có :

\(u = {U_0}\cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

\(i = {I_0}\cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{6}} \right)\)

Độ lệch pha của u so với i :

\(\varphi  = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3}(ra{\rm{d}})\)

Nhận xét, u nhanh pha hơn i => cảm kháng lớn hơn dung kháng

Cách 2 :

Ta có , độ lệch pha giữa u và i được xác định bởi biểu thức :

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

Mặt khác, theo đầu bài ta có :

 \(\varphi  = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3}(ra{\rm{d}})\)

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \tan \dfrac{\pi }{3} \to {Z_L} - {Z_C} = \sqrt 3 R\\ \to {Z_L} > {Z_C}\end{array}\)

Điện áp hai đầu đoạn mạch :

\(U = \sqrt {U_R^2 + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{40}^2} + {{\left( {50 - 80} \right)}^2}}  = 50(V)\)

Ta có :

+ u nhanh pha hơn i một góc 45⁰

+ độ lệch pha giữa u và i được xác định bởi biểu thức :

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

\(\begin{array}{l} \to \tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \tan \dfrac{\pi }{4}\\ \to {Z_L} - {Z_C} = R\end{array}\)

Ta có, điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch chậm pha hơn cường độ dòng điện tức thời góc 60⁰

\( \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{3}\)

Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \tan ( - \dfrac{\pi }{3}) \to {Z_L} - {Z_C} =  - \sqrt 3 R\\ \to {Z_C} = {Z_L} + \sqrt 3 R = 50 + \sqrt 3 .10\sqrt 3  = 80\Omega \end{array}\)

Ta có:

+ Dung kháng :

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{2\pi fC}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.\dfrac{{200}}{\pi }{{.10}^{ - 6}}}} = 50\Omega \)

+ Dòng điện qua mạch chậm pha

\({45^0} \to \varphi  = \dfrac{\pi }{4}\)

\(\begin{array}{l}\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \tan \dfrac{\pi }{4} \to {Z_L} - {Z_C} = R\\ \to {Z_L} = {Z_C} + R = 50 + 100 = 150\Omega \end{array}\)

Mặt khác:

\({Z_L} = \omega L \to L = \dfrac{{{Z_L}}}{\omega } = \dfrac{{{Z_L}}}{{2\pi f}} = \dfrac{{150}}{{2\pi .50}} = \dfrac{{1,5}}{\pi }\)

Ta có:

\(u = 100\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)V\) và \(i = 5\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{3}} \right)A\)

=> Độ lệch pha giữa u và i:

\(\varphi  = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} > 0\)

Mặt khác, ta có:

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

=> Mạch có thể chứa R, L, C trong đó Z_L > Z_C hoặc mạch chỉ chứa R và L

Ta có:

\(u = 100\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{2}} \right)V\) và  \(i = 5\cos \left( {100\pi t + \dfrac{\pi }{4}} \right)A\)

Độ lệch pha của u so với i:

\(\varphi  = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{4}\)

Lại có: 

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

Vì mạch chỉ gồm R, L => Z_C = 0

\( \to \tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L}}}{R} = \tan \dfrac{\pi }{4} \to {Z_L} = R\)

Mặt khác, tổng trở của mạch:

\(Z = \dfrac{{{U_0}}}{{{I_0}}} = \dfrac{{100\sqrt 2 }}{5} = 20\sqrt 2 \Omega \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L}} \right)}^2}}  = \sqrt 2 R = \sqrt 2 {Z_L} = 20\sqrt 2 \\ \to \left\{ \begin{array}{l}R = 20\Omega \\{Z_L} = 20\Omega  \to L = \dfrac{{{Z_L}}}{\omega } = \dfrac{{20}}{{100\pi }} = \dfrac{1}{{5\pi }}H\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có:

Cường độ dòng điện trong mạch:

\(I = \dfrac{{{U_R}}}{R} = \dfrac{{80}}{{40}} = 2(A)\)

Cảm kháng:

\({Z_L} = \omega L = 2\pi fL = 2\pi .50.\dfrac{{0,4}}{\pi } = 40\Omega \)

Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm:

\({U_L} = I.{Z_L} = 2.40 = 80(V)\)

Dung kháng:

\({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{1}{{2\pi fC}} = \dfrac{1}{{2\pi .50.\dfrac{{{{10}^{ - 3}}}}{\pi }}} = 10\Omega \)

Hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện:

 \({U_C} = I.{Z_C} = 2.10 = 20(V)\)

Hiệu điện thế hiệu dụng toàn mạch:

\(U = \sqrt {U_R^2 + {{\left( {{U_L} - {U_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{80}^2} + {{\left( {80 - 20} \right)}^2}}  = 100(V)\)

Ta có độ lệch pha của điện áp so với cường độ dòng điện trong mạch:

\(\tan \varphi  = \dfrac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \dfrac{{{U_L} - {U_C}}}{{{U_R}}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{U_R} - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{U_R}}}{{{U_R}}} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \to \varphi  =  - \dfrac{\pi }{6}\)

=> $u$ chậm pha hơn $i$ một góc $\frac{\pi }{6}$

=> $i$ sớm pha hơn $u$ một góc $\frac{\pi }{6}$

Ta có:

\({U_{RL}} \bot {U_{RC}} \to \left| {\tan {\varphi _1}\tan {\varphi _2}} \right| = 1 \to \frac{{{Z_L}}}{R}\frac{{{Z_C}}}{R} = 1 \to {U_L}{U_C} = U_R^2\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}U_R^2 + U_L^2 = {80^2}(1)\\U_R^2 + U_C^2 = {60^2}(2)\end{array} \right.\\(1) + (2) \leftrightarrow 2U_R^2 + U_L^2 + U_C^2 = {80^2} + {60^2} \leftrightarrow 2U_R^2 + {\left( {{U_L} + {U_C}} \right)^2} - 2{U_L}{U_C} = {80^2} + {60^2}\\ \to \left( {{U_L} + {U_C}} \right) = 100\\(1) - (2) \leftrightarrow U_L^2 - U_C^2 = {80^2} - {60^2} \leftrightarrow \left( {{U_L} + {U_C}} \right)\left( {{U_L} - {U_C}} \right) = {80^2} - {60^2} \to \left( {{U_L} - {U_C}} \right) = 28\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{U_L} = 64\\{U_C} = 36\end{array} \right. \to {U_R} = \sqrt {{{80}^2} - {{64}^2}}  = 48V\end{array}\)

Từ giản đồ véc tơ, ta có:

\(\varphi  = \pi  - \left( {\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{6} \to c{\rm{os}}\varphi  = c{\rm{os}}\dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: U_d = U_C = U

=> tứ giác OU_dUU_C là hình thoi

=> góc lệch pha giữa u_d và u_c là 120⁰ = 2π/3

Từ đồ thị ta có:

\({U_{bc}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}{U_{ab}} \\\Leftrightarrow Z_L^2 + {r^2} = \dfrac{5}{9}{R^2}\)

\({U_{ac}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}{U_{ab}} \\\Leftrightarrow {\left( {R + r} \right)^2} + Z_L^2 = \dfrac{{20}}{9}{R^2}\)

\( \Rightarrow {R^2} + 2Rr + \dfrac{5}{9}{R^2} = \dfrac{{20}}{9}{R^2} \\\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{R^2} = Rr \\\Leftrightarrow r = \dfrac{R}{3} = \dfrac{{10}}{3}(\Omega ) \approx 3,{\rm{3 (\Omega )}}\)

\( \Leftrightarrow Z_L^2 + \dfrac{{{R^2}}}{9} = \dfrac{5}{9}{R^2} \\\Rightarrow {Z_L} = \dfrac{2}{3}R = \dfrac{{20}}{3}(\Omega ) \\\Rightarrow L = \dfrac{{{Z_L}}}{\omega } = \dfrac{{20}}{{3.100\pi }} = 0,02{\rm{1 (H)}}\)

Độ lệch pha giữa điện áp hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện là:

\(\cos \varphi  = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }} = \dfrac{R}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {\omega L - \dfrac{1}{{\omega C}}} \right)}^2}} }}\)

→ cosφ phụ thuộc vào R, ω, L, C

Tại \({t_2}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_L} = {u_C} = 0\\{u_R} = 100V\end{array} \right.\)  khi này \({u_{{R_{max}}}} = {U_{0R}} = 100V\)

Tại \({t_1}\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_L} = 30V\\{u_C} =  - 180V\\{u_R} = 50V\end{array} \right.\)

Ta có: \({u_L} \bot {u_R}\) ta suy ra: \({\left( {\dfrac{{{u_L}}}{{{U_{0L}}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{u_R}}}{{{U_{0R}}}}} \right)^2} = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{30}^2}}}{{U_{0L}^2}} + \dfrac{{{{50}^2}}}{{{{100}^2}}} = 1 \Rightarrow {U_{0L}} = 20\sqrt 3 V\)

Lại có: \(\dfrac{{{U_{0L}}}}{{{U_{0C}}}} = \dfrac{{{Z_L}}}{{{Z_C}}} =  - \dfrac{{{u_L}}}{{{u_C}}} =  - \dfrac{{30}}{{\left( { - 180} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {U_{0C}} = 120\sqrt 3 V\)

Điện áp cực đại ở hai đầu mạch: \({U_0} = \sqrt {U_{0R}^2 + {{\left( {{U_{0L}} - {U_{0C}}} \right)}^2}}  = 200V\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}R = 20\Omega \\{Z_L} = \omega L = 80\Omega \\{Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = 60\Omega \end{array} \right. \Rightarrow Z\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}  = 20\sqrt 2 \Omega \)

Cường độ dòng điện cực đại: \({I_0} = \dfrac{{{U_0}}}{Z} = \dfrac{{220\sqrt 2 }}{{20\sqrt 2 }} = 11A\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{U_{0R}} = {I_0}.R = 11.20 = 220V\\{U_{0L}} = {I_0}.{Z_L} = 11.80 = 880V\end{array} \right.\)

Lại có:

\(\dfrac{{u_R^2}}{{U_{0R}^2}} + \dfrac{{u_L^2}}{{U_{0L}^2}} = 1 \Rightarrow \left| {{u_L}} \right| = {U_{0L}}\sqrt {1 - \dfrac{{u_R^2}}{{U_{0R}^2}}}  = 880.\sqrt {\dfrac{{{{\left( {110\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{{{220}^2}}}}  = 440V\)

Độ lệch pha giữa u và i: \(\tan \varphi  = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)

Ta có giản đồ vecto:

Từ giản đồ vecto ta thấy: \( - \frac{\pi }{2} < \varphi  < \frac{\pi }{2}\)

\( - \frac{\pi }{2} < {\varphi _u} - {\varphi _i} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{2} - {\varphi _i} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < {\varphi _i} < \pi \)

Cảm kháng, dung kháng, tổng trở: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{Z_L} = \omega L = 200\Omega \\
{Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = 100\Omega \\
Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} = 200\Omega
\end{array} \right.\)

Độ lệch pha giữa u và i:

\(\tan \varphi = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \frac{{200 - 100}}{{100\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}\)

Khi điện áp bằng nửa giá trị cực đại thì

\(\begin{array}{l}
u = \frac{1}{2}{U_0} \Leftrightarrow \cos {\varphi _u} = \frac{1}{2} \Rightarrow {\varphi _u} = \frac{\pi }{3}\\
\Rightarrow {\varphi _i} = {\varphi _u} - \varphi = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6}
\end{array}\)

Khi đó:  

\(i = {I_0}.\cos {\varphi _i} \Rightarrow {I_0} = \frac{i}{{\cos {\varphi _i}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\cos \frac{\pi }{6}}} = 1A\)

Số đo của Vôn kế xoay chiều là điện áp hiệu dụng:

\({U_C} = I.{Z_C} = \frac{{{I_0}}}{{\sqrt 2 }}.{Z_C} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.100 = 50\sqrt 2 V\)

Ta có: \({Z_L} = 3{Z_C} \Rightarrow {u_L} =  - 3{u_C}\) (do \({u_L}\) ngược pha với \({u_C}\))

Tại thời điểm t: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_R} = 60V\\{u_C} = 20V\\{u_L} =  - 3{u_C} =  - 60V\end{array} \right.\)

Điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch khi đó: \(u = {u_R} + {u_L} + {u_C} = 60 + \left( { - 60} \right) + 20 = 20V\)